2022　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】

〔1〕　図のように$0$から$7$までの番号のついた$8$つのマスがあり，次のルールに従うゲームがある．

ルール$\text{①}$　$0$番のマスを起点とし，$7$番のマスを終点として，$1$個のさいころを投げて出た目の数だけ終点に向かってマスを進む．

ルール$\text{②}$　$2$回目以降は，直前の回に進んでとまったマスから，$1$個のさいころを投げて出た目の数だけ終点に向かってマスを進む．

ルール$\text{③}$　終点に到達すればゲームは終了になる．さいころの出た目の数が終点までのマスの数より大きい場合もゲームは終了となる．

(a)　起点からゲームが終了するまでさいころを投げる回数が最も大きくなるのは$\text{ア}$回で，その最大回数でゲームが終了する確率は$\text{イ}$（累乗で表すことも可とする）となる．

(b)　起点から$2$回だけさいころを投げてゲームが終了する確率は$\text{ウ}$である．

　次に，ルール$\text{④}$を加えた場合を考える．

ルール$\text{④}$　$3$番のマスにとまると，その時点でゲームが終了となる．

(c)　起点からさいころを$1$回以上投げて$3$番のマスにとまることでゲームが終了する確率は$\text{エ}$である．

(d)　起点からさいころを投げる回数が$2$回以内でゲームが終了した．このとき終点まで到達して終了した確率は$\text{オ}$である．

【１】

〔2〕　$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+2n$によって定められている数列$\{a_n\}$の一般項を以下の手順で求める．ただし，$\text{カ}$から$\text{ソ}$までは数値で答えること．

　まず，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくと，数列$\{b_n\}$の初項は$b_1=\text{カ}$であり，$b_{n+1}=\text{キ}{b}_n+\text{ク}$の関係が成り立つ．ゆえに，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{ケ}\times {(\text{コ})}^n-\text{サ}$となる．したがって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{シ}\times {(\text{ス})}^n-\text{セ}n-\text{ソ}$である．

【１】

〔3〕　$k$は定数とする．

　直線$l\text{：}(2k+1)x+(k+2)y-5k+2=0$と円$C\text{：}{x}^2+y^2-2x=0$がある．

　直線$l$は$k$の値にかかわらず，定点$(\text{タ},\text{チ})$を通る．

　また，円$C$の中心の座標は$(\text{ツ},\text{テ})\text{，}$半径は$\text{ト}$であるので，直線$l$が円$C$に接するときの$k$の値は$\text{ナ}$または$\text{ニ}$である．その接点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とすると，直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$\text{ヌ}=0$である．

【２】　ある企業の顧客向け電話相談窓口は，$1$人の従業員$\mathrm{A}$によって運営されている．この電話相談窓口では，以下により応対を行う．

$\text{①}$　顧客の電話が着信した時刻に$\mathrm{A}$が他の顧客と通話中でなければ，その顧客の電話が着信した時点から通話が開始される．

$\text{②}$　顧客の電話が着信した時刻に$\mathrm{A}$が他の顧客と通話中であれば，その顧客は電話をつないだまま待機し，$\mathrm{A}$と他の顧客との通話が終了した時点からその顧客との通話が開始される．

$\text{③}$　他の顧客との通話が終了した時点で$2$人以上の顧客が待機している場合は，先に着信した顧客が優先される．

$\text{④}$　この電話相談窓口に電話する顧客は全員，着信してから$\mathrm{A}$との通話が始まるまで待機し続ける．

　例えば，午前$9$時$0$分に電話相談が開始されてから，$1$人目の着信が午前$9$時$3$分にあり$2$分間通話し，$2$人目の着信が午前$9$時$4$分にあり$3$分間通話したとする．この場合の$1$人目の待機時間は$0$分間，通話時間は$2$分間であり，$2$人目の待機時間は$1$分間，通話時間は$3$分間である．

　ある日の午前$9$時$0$分からの$60$分間に，$\mathrm{A}$は$10$人の顧客に応対した．右の表には，着信順に顧客の通し番号を付け，電話が着信した時刻，$\mathrm{A}$との通話時間をまとめている．通し番号$10$の次の顧客の電話が着信した時刻は$10$時$0$分であった．

　この日の午前$9$時$0$分からの$60$分間の応対について考える．

〔1〕　顧客と$\mathrm{A}$との通話時間の平均値は$\text{ア}$分間，中央値は$\text{イ}$分間，四分位範囲は$\text{ウ}$分間，標準偏差は$\text{エ}$分間である．

〔2〕　通し番号$k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$9\text{，}$$10\text{）}$の顧客の電話が着信した時刻から次の顧客の電話が着信した時刻までの時間を着信間隔$a_k$として定義する．$a_k$の平均値は$\text{オ}$分間，標準偏差は$\text{カ}$分間である．

〔3〕　待機時間が$0$分間でない顧客の数は$\text{キ}$人である．また，$\mathrm{A}$が応対した$10$人の待機時間の平均値は$\text{ク}$分間である．

〔4〕　ここで，待機時間の平均値を減らすことを目的に$2$つのシステムを考えた．

(a)　$10$人の顧客の電話が着信した時刻は表のデータのままで，従業員向けのマニュアルをわかりやすくすることなどにより，各顧客の通話時間を$1$分間だけ短くすることを考えた．このときの待機時間の平均値は$\text{ケ}$分間となり，$\text{ク}$よりも$\text{コ}$分間減らすことができる．

(b)　$10$人の顧客の通話時間は表のデータのままで，通し番号$1$の顧客の電話が着信した時刻も午前$9$時$0$分のままとし，スマートフォンのアプリなどを用いた事前予約制にして着信間隔$a_k$を$6$分間の一定間隔にすることを考えた．このときの待機時間の平均値は$\text{サ}$分間となり，$\text{ク}$よりも$\text{シ}$分間減らすことができる．

【３】　$a$は正の定数とする．$3$次関数$f(x)=x(x-a)(x-3a)\text{，}$$2$次関数$g(x)=x(x-3a)\text{，}$$1$次関数$h(x)=-ax$がある．このとき，次の問いに答えよ．

〔1〕　曲線$y=f(x)$と直線$y=h(x)$が原点で交わり，他の$1$点で接するときの$a$の値を求めよ．

〔2〕　関数$y=f(x)$が$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値をとるとき，$2$点$\mathrm{A}$$(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}$$\mathrm{B}$$(\beta ,f(\beta ))$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$$(x,y)$の座標を$a$を用いて表せ．

〔3〕　直線$y=h(x)$が〔2〕で定めた点$\mathrm{M}$を通るときの$a$の値を求めよ．このとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=h(x)$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しいことを示せ．

〔4〕　$a\geqq 1$とする．曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しくなるときの$a$の値を求めよ．