2022　立命館大　スポーツ健康,薬,食マネジメント学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】　座標平面上に，放物線$C\text{：}y=x^2$と点$\mathrm{A}$$(a,-2)$がある．ただし，$a$は実数とし，点$\mathrm{P}$を放物線$C$上を動く点とする．

（注：解答するにあたって，式に関する空欄で，係数が負になる場合や$1$または$-1$ になる場合，また定数項が負になる場合，$y=1x+-2$のように，空欄に負の値や$1$または$-1$を記すこと．）

〔1〕　点$\mathrm{B}$$(1,0)$と点$\mathrm{A}$を通る直線を$l$とするとき，直線$l$と放物線$C$が少なくとも$1$つの共有点を持つための必要十分条件は，$a\geqq \text{ア}$である．特に，放物線$C$と直線$l$が接するとき，その共有点の座標は$(\text{イ},\text{ウ})$である．

〔2〕　$a=7$とする．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$の距離は点$\mathrm{P}$の座標が$(\text{エ},\text{オ})$のとき，最小値$\text{カ}$をとる．

〔3〕　線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡$C_1$は$a$を用いて表すと，

$y=\text{キ}{(x+\text{ク})}^2+\text{ケ}$

である．次に，軌跡$C_1$上を動く点と点$\mathrm{A}$を結んだ線分の中点の軌跡$C_2$は，

$y=\text{コ}{(x+\text{サ})}^2+\text{シ}$

である．

　さらに，軌跡$C_2$上を動く点と点$\mathrm{A}$を結んだ線分の中点の軌跡を$C_3$とする．同様に軌跡$C_4\text{，}$$C_5\text{，}\cdots \text{，}$$C_N$を求める．ただし，$N$は自然数である．

　$2^N=t$として，軌跡$C_N$を，$N$を用いずに$a\text{，}$$t$を用いて表すと，

$y=\text{ス}{(x+\text{セ})}^2+\text{ソ}$

となる．

〔4〕　〔3〕で求めた軌跡$C_N$において，$y$座標が最小である点を$\mathrm{R}\text{，}$軌跡$C_N$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{▵RST}$の面積を$t$を用いて表すと，$\text{タ}$となる．この$\mathrm{▵RST}$の面積は$N=\text{チ}$のときに最大となる．

【２】　自然数$n$に対して，図２-１のような図形${\mathrm{D}}_n$で表される道のある町を考える．図２-１のように，町${\mathrm{D}}_{n+1}$の道は町${\mathrm{D}}_n$の一番右上の区画に十字の道を新たに設置することで作られる．

町${\mathrm{D}}_1$	町${\mathrm{D}}_2$	町${\mathrm{D}}_3$	町${\mathrm{D}}_4$

図２-１

（注：解答するにあたって，式に関する空欄で，係数が負になる場合や$1$または$-1$になる場合，また定数項が負になる場合，$y=1x+-2$のように，空欄に負の値や$1$または$-1$を記すこと．）

〔1〕　町${\mathrm{D}}_n$に関してスタート地点$\mathrm{S}$からゴール地点$\mathrm{G}$への最短経路が何通りあるかを考える．町${\mathrm{D}}_n$において$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$に至る最短経路の数を$A_n$とする．このとき，$A_1=\text{ア}\text{，}$${\mathrm{A}}_2=\text{イ}\text{，}$$A_3=\text{ウ}\text{，}$$A_4=\text{エ}$となる．

　さらに，図２-２に示すように町${\mathrm{D}}_{n+1}$の右上の区画（灰色で示された部分）が町${\mathrm{D}}_n$と相似であることに着目して，$A_{n+1}$と$A_n$の関係を考える．なお，図２-２の点線は繰り返しを表す．

　地点$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$へと向かう経路は，図２-２の黒丸を通る場合と通らない場合に分類できる．このことから，$A_{n+1}$を$A_n$を用いて表すと，

$A_{n+1}=\text{オ}{A}_n+\text{カ}$

となる．ゆえに，数列$\{A_n\}$の一般項は$A_n=\text{キ}$である．

〔2〕　図２-３に示すように，町${\mathrm{D}}_n$の左上の地点を${\mathrm{S}}^{\prime }\text{，}$右下の地点を${\mathrm{G}}^{\prime }$とし，スタート地点${\mathrm{S}}^{\prime }$からゴール地点${\mathrm{G}}^{\prime }$への最短経路が何通りあるかを考える．

　この町${\mathrm{D}}_n$における地点${\mathrm{S}}^{\prime }$から地点${\mathrm{G}}^{\prime }$への最短経路の数を$B_n$とするとき，$B_{n+1}$を$B_n$を用いて表すと，

$B_{n+1}=\text{ク}{B}_n+\text{ケ}$

となる．ゆえに，数列$\{B_n\}$の一般項は$B_n=\text{コ}$である．

〔3〕　図２-４に示す図形で表される町$\mathrm{X}$と町$\mathrm{Y}$について考える．スタート地点$\mathrm{S}$からゴール地点$\mathrm{G}$への最短経路は，町$\mathrm{X}$では$\text{サ}$通り，町$\mathrm{Y}$では$\text{シ}$通りある．

【３】　$a$は正の定数とする．座標平面上において，図３-１に示すような曲線$C_1$は，媒介変数$\theta$を用いて$x=a(\cos \theta +\theta \sin \theta )\text{，}$$y=a(\sin \theta -\theta \cos \theta )$と表される．ただし，$\theta >0$とする．

〔1〕　$0<\theta \leqq 2\pi$の範囲において，曲線$C_1$の$x\text{，}$$y$がとりうる範囲はそれぞれ，$\text{ア}\leqq x\leqq \text{イ}\text{，}$$\text{ウ}\leqq y\leqq \text{エ}$である．

〔2〕　$0<a<1$のときを考える．$a^2\leqq \theta \leqq a$の範囲において，曲線$C_1$の長さが最大となるとき，$a=\text{オ}$であり，その長さは$\text{カ}$である．

〔3〕　曲線$C_1$上の任意の点$\mathrm{P}$$(a(\cos \theta +\theta \sin \theta ),a(\sin \theta -\theta \cos \theta ))$における法線の方程式$l$は$\text{キ}$で表される．次に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$a$の円$C_2$を考えると，点$\mathrm{P}$における法線$l$は円$C_2$と接し，その接点は点$\mathrm{Q}$$(a\cos \theta ,a\sin \theta )$となる．このことから，点$\mathrm{P}$が曲線$C_1$上を動くとき，法線$l$が通過しない領域は，$\theta$を用いずに表すと，$\text{ク}$である．また，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離は，$\theta$を用いて表すと，$\text{ケ}$となる．

【４】　座標空間において，$4$点$\mathrm{A}$$(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(a,a,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,1,-1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(4b^2+2,-b,4b^2+3)$がある．ただし，$a\text{，}$$b$は実数とする．

〔1〕　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の大きさと$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を$a$を用いて表すと，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\text{ア}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{イ}$である．このことから，$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$は，$S=\text{ウ}$となるので，$S$は$a=\text{エ}$のとき最小となり，最小値は$\text{オ}$である．

〔2〕　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直かつ$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$に垂直な大きさ$1$のベクトルのうち，$z$成分が正のものを$\overrightarrow{n}$とおくと，$\overrightarrow{n}$は$a$を用いて，

$\overrightarrow{n}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8a^2-16a+11}}}(\text{カ},\text{キ},\text{ク})$

と表される．

　このことから，点$\mathrm{D}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面に下ろした垂線の長さ$L$は，$a\text{，}$$b$を用いて，

$L={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{8a^2-16a+11}}}(\text{ケ})$

と表され，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$は，$V=\text{コ}$となる．

　また，$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$a={\displaystyle \frac{1}{2b}}$の条件を満たすとき，$V$の最小値は，$a\text{，}$$b$を用いずに表すと，$\text{サ}$である．