2022　立命館大　理系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】　自然数$m$に対して，$m$の$10$進法表記の各位の数字を逆順に並べて得られ数を$m^{\prime }$とする．ただし，$m$の末尾に$0$が続くとき，それは除外して並べる．例えば，$m=123$のとき$m^{\prime }=321$であり，$m=10200$のとき$m^{\prime }=201$である．

〔1〕　$m$が$2$桁の自然数であり，$1$の位が$a_1\text{，}$$10$の位が$a_2$であるとする．このとき，$m\text{，}$$m^{\prime }$を$a_1\text{，}$$a_2$に関する四則計算を用いて表すと，$m=\text{ア}\text{，}$$m^{\prime }=\text{イ}$となる．また，$m-m^{\prime }$は常に$\text{ウ}$の倍数になる．

〔2〕　$m$が$3$桁の自然数であり，$1$の位が$a_1\text{，}$$10$の位が$a_2\text{，}$${10}^2$の位が$a_3$であるとする．このとき，$m=m^{\prime }$であるための必要十分条件は，$a_1=\text{エ}$が成り立つことであり，そのような$m$は$\text{オ}$個存在する．

　また，$m-m^{\prime }$は常に$\text{カ}$の倍数であり，$m-m^{\prime }$がとりうる最大の値は$\text{キ}$である．

〔3〕　$n$を$3$以上の自然数とする．$m$が$n$桁の自然数であり，${10}^{k-1}$の位が$a_k$であるとする$\text{（}k=1\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）．}$このとき，$m=m^{\prime }$となるものは，$n$が奇数のとき$\text{ク}$個，$n$が偶数のとき$\text{ケ}$個存在する．

　また，$n$が奇数かつ$a_1\text{，}$$a_n$がともに偶数またはともに奇数であれば，$m-m^{\prime }$は常に$\text{コ}$の倍数である．さらに，$a_1=a_n$であれば，$m-m^{\prime }$は常に$\text{サ}$の倍数である．

（注：$\text{ウ}\text{，}$$\text{カ}\text{，}$$\text{コ}\text{，}$$\text{サ}$はそれぞれ当てはまる自然数の中で最大のものである．）

【２】　曲線$y=f(x)$を$f(x)=x\log x$で定める．ただし，$x>0$とし，$\log x$は$x$の自然対数である．

〔1〕　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めると，$f^{\prime }(x)=\text{ア}$である．また，$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$の値は$\text{イ}$であり，$f(\text{イ})=\text{ウ}$となる．また，$f(x)$の不定積分を求めると，

${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=\text{エ}+C$

である．ただし，$C$は積分定数である．

〔2〕　$k>0$とする．直線$y=kx$と曲線$y=f(x)$の共有点の$x$座標は$\text{オ}$である．$2$直線$y=kx\text{，}$$y=0$および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$2$直線$y=-kx\text{，}$$y=0$および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1=\text{カ}\text{，}$$S_2=\text{キ}$である．さらに$S_1:S_2=5:1$であるとき，$k$の値は$\text{ク}$であり，そのときの$S_1$の値は$\text{ケ}$である．

〔3〕　$n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots$に対して，数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(1+{\displaystyle \frac{k}{n}})\log (1+{\displaystyle \frac{k}{n}})$

と定める．このとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値は$\text{コ}$である．これを用いて，極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{n+1}{n}}\right)}^{\frac{n+1}{n^2}}\times {\left({\displaystyle \frac{n+2}{n}}\right)}^{\frac{n+2}{n^2}}$$\times \cdots \times {\left({\displaystyle \frac{n+n}{n}}\right)}^{\frac{n+n}{n^2}}$

の値を求めると$\text{サ}$である．

【３】　$k$を実数とし，$f(x)=z^2-kz+1$とおく．方程式

$f(z)=0$(＊)

が実数でない解をもつための必要十分条件は$\text{ア}$である．このとき方程式(＊)の複素数の解は$z=\text{イ}\pm \text{ウ}i$となる．ここで，$i$は虚数単位を表し，$\text{イ}$は実数，$\text{ウ}$は正の実数である．さらに，$|\text{イ}\pm \text{ウ}i|=\text{エ}$である．$k$が$\text{ア}$を満たす範囲を動くとき，$|\text{イ}+\text{ウ}i-3-4i|$の最小値は$\text{オ}$である．

　次に，$f_2(z)=f(z^2)$とおく．$\text{ア}$が成り立つとき，方程式$f_2(z)=0$の複素数の解の中で最も偏角が小さいものを$k$を用いて表すと$\text{カ}+\text{キ}i$である．ただし，偏角は$0$以上$2\pi$未満とする．$3$以上の自然数$n$について，$f_n(z)=f(z^n)$とおく．$\text{ア}$が成り立つとき，方程式$f_n(z)=0$の複素数の解は$\text{ク}$個存在して，その中で虚部が正のものは$\text{ケ}$個である．また，$f_n(z)=0$の各複素数の解に対して，それぞれの実部と虚部の和を考える．これらの中で最大の値を$u_n$とすると，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\text{コ}$

である．

【４】　必ずしも各目の出る確率が等しいとは限らないサイコロがある．このサイコロを$1$回投げるとき，$k$の目が出る確率を$a_k$とおく$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{）．}$ただし，

$0<a_k<1\text{，}$$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=1$

である．

〔1〕　$a_1=a_2={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$$a_3=a_4={\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}$$a_5=a_6={\displaystyle \frac{1}{12}}$とする．

(a)　このサイコロを$2$回続けて投げるとき，$2$回とも奇数の目が出る確率は$\text{ア}$であり，$2$回とも同じ目が出る確率は$\text{イ}$である．また，出た目の和が$6$となる確率は$\text{ウ}$である．

(b)　このサイコロを$3$回続けて投げるとき，$1$の目が$1$回も出ない確率は$\text{エ}$であり，出た目の積が$8$となる確率は$\text{オ}$である．また，出た目の積が$8$となる条件のもとで$1$の目が$1$回も出ない確率は$\text{カ}$である．

〔2〕　$a$を実数として，

$a_1=a_3=a_5={\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}\text{，}$$a_2=a_4=a_6={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}$

とする．実数$a$のとりうる値の範囲は$\text{キ}<a<\text{ク}$である．このサイコロを$3$回続けて投げるとき，出た目の最小値が$4$以下となる確率は$\text{ケ}$である．また，出た目の最小値が$4$かつ出た目の最大値が$6$となる確率は$\text{コ}$であり，この確率が${\displaystyle \frac{1}{9}}$より大きくなるような$a$の値の範囲は$\text{サ}<a<\text{シ}$である．