2022　立命館大　理系学部個別配点方式2月7日実施MathJax

【１】　$N$を$2$以上の自然数とし，数列$\{a_n\}$を$N$項からなる数列とする．この$\{a_n\}$の各項を用いて，整式$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \sum _{n=1}^N}{a}_n{x}^n$

により定める．

〔1〕　数列$\{a_n\}$に関係なく$x=\text{ア}$のとき，$f(x)$の値は$\text{イ}$である．

〔2〕　数列$\{a_n\}$を初項$1\text{，}$公比$r$の等比数列とする．ただし，$r$は$0$でない実数である．このとき，数列$\{a_n{x}^n\}$も等比数列となる．$x=\text{ウ}$のとき，$\{a_n{x}^n\}$の公比は$1$となるので，$f(\text{ウ})=\text{エ}$となる．また，$x\ne \text{ウ}$のとき，$f(x)={\displaystyle \frac{\text{オ}}{rx-1}}$となる．

（注：$\text{エ}$は$x$を用いずに，$\text{オ}$は$x$の整式でそれぞれ答えよ．）

〔3〕　数列$\{a_n\}$を初項$a\text{，}$公差$2$の等差数列とする．このとき，$f(1)$を$a\text{，}$$N$を用いて表すと，$f(1)=\text{カ}$となる．また，$f(-1)$は$N$が偶数ならば$\text{キ}\text{，}$$N$が奇数ならば$\text{ク}$となる．

〔4〕　$f^{\prime }(x)-f(x)+x^N$が定数$c$であるとき，一般項$a_n$を$n$を用いて表すと，$a_n=\text{ケ}$であり，$c=\text{コ}$である．

【２】　関数$f(x)$を$f(x)=x^3-x+2$により定める．また，実数$k$に対して，関数$g(x)\text{，}$$h(x)$を$g(x)=x^2+2-k\text{，}$$h(x)=x+k$により定める．

〔1〕　$f^{\prime }(x)=\text{ア}$である．また，$f(x)$の極大値は$\text{イ}$であり，最小値は$\text{ウ}$である．$y=f(x)$は変曲点$(\text{エ},f(\text{エ}))$をもち，方程式$f(x)=f(\text{エ})$の解は$x=\text{オ}$である．

〔2〕　$y=g(x)$と$y=h(x)$のグラフの共有点の個数は，

$|k-\text{カ}|<\text{キ}$のとき$\text{ク}$個，

$|k-\text{カ}|=\text{キ}$のとき$\text{ケ}$個

$|k-\text{カ}|>\text{キ}$のとき$\text{コ}$個

となる．

〔3〕　$3$つの条件$g(t)=h(t)\text{，}$$g(t)>0\text{，}$$h(t)>0$を同時に満たす実数$t$の個数が$2$個であるための$k$が満たす条件を求める．そのために，〔2〕の共有点の個数に関する分類を用いて新たに場合分けを行う．$y=g(x)$と$y=h(x)$のグラフの共有点の個数が$2$個の場合，$k=\text{サ}$である．また，共有点の個数が$3$個の場合，$\text{シ}$である．ここで，$\text{シ}$は$k$に関する不等式である．

【３】　$\alpha$は正の実数とする．区間$[-\alpha ,\alpha ]$で連続な関数$f(x)$に対して，定積分$I(\alpha )$を

$I(\alpha )={\displaystyle {\int }_{-\alpha }^{\alpha }}{\displaystyle \frac{f(x)}{1+e^{-2x}}}\mathit{dx}$

で与える．ただし，$e$は自然対数の底とする．

〔1〕　$f(x)=1$とする．このとき，$x=-t$とおき置換積分法を用いることにより

${\displaystyle {\int }_{-\alpha }^0}{\displaystyle \frac{1}{1+e^{-2x}}}\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}\text{ア}\mathit{dt}$

となる．さらに

${\displaystyle \frac{1}{1+e^{-2t}}}+\text{ア}=\text{イ}$

であることに注意すると，$I(\alpha )=\text{ウ}$となる．ただし，$\text{ア}$は$t$の式であり，$\text{ウ}$は$t$を用いない式である．

〔2〕　$f(x)=e^{-2x}$のとき，$I(2)=\text{エ}$である．また，$f(x)=e^{2x}$のとき，$I(2)=\text{オ}$である．ただし，$\text{エ<mspace width=".5em"></mspace>}$および$\text{オ}$は対数を用いない数である．

〔3〕　$f(x)$が偶関数であるとする．このとき，〔1〕と同様に考えると，定数$k$を用いて，

$I(\alpha )=k{\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}f(x)\mathit{dx}$

と表せる．ここで，$k=\text{カ}$である．

〔4〕　$f(x)=x\sin 2x$のとき，$I\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=\text{キ}$である．

【４】　$a$を$2$より大きい実数とする．座標空間内の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(0,0,a)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$をとり，$S_0$を$C$を中心とする半径$1$の球面とする．$l$は$\mathrm{A}$を通る直線で，$S_0$とただ一つの共有点$\mathrm{B}$をもつとする．$l$と平面$z=0$との共有点を$\mathrm{P}$とする．

〔1〕　$\mathrm{\angle ABC}=\text{ア}$であり，線分$\mathrm{BC}$の長さは$\text{イ}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$の長さは$\text{ウ}$である．$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵AOP}$が相似であることから，線分$\mathrm{OP}$の長さは$\text{エ}$であり，$\mathrm{▵AOP}$を$z$軸の周りに回転して得られる円錐の体積は$\text{オ}$となる．

〔2〕　線分$\mathrm{AO}$上に中心がある球面で，直線$l$とも球面$S_0$ともそれぞれただ$1$つの共有点を持つものを$S_1$とする．このとき，$S_1$と$S_0$は外接し，その共有点を${\mathrm{D}}_1$とすると${\mathrm{D}}_1=\text{カ}$である．また，球面$S_1$の半径は$\text{キ}$である．

　以下同様に，$k=2\text{，}$$3\text{，}\cdots$について，線分$\mathrm{A}{\mathrm{D}}_{k-1}$上に中心がある球面で，直線$l$とも球面$S_{k-1}$ともそれぞれただ$1$つの共有点を持つものを$S_k$として，$S_k$と$S_{k-1}$の共有点を${\mathrm{D}}_k$と順に定める．このとき，$S_k$の半径は$\text{ク}$であり，$S_k$が囲む球体の体積を$V_k$とすると，$V_k=\text{ケ}$である．よって

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{V}_k=\text{コ}$

である．したがって，

$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{オ<mspace width=".5em"></mspace>}}}=\text{サ}$

となる．