2022　関西大学　全学日程理系2月2日実施MathJax

2022-14991-0201

2022　関西大学　全学日程理系2月2日実施

易□　並□　難□

【１】　楕円 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ と直線 $y = 2 x + k$ に対して，楕円と直線が共有点をもたないとき，次の問いに答えよ．ただし， $k$ は正の定数とする．

(1)　 $k$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　楕円上の点 $P$ $(2 \cos θ, 3 \sin θ)$ から直線に下ろした垂線を $PH$ とする．そのとき， $H$ の座標を $k$ と $θ$ を用いて表せ．

(3)　点 $P$ が楕円上を動くとき，(2)で求めた $PH$ の長さの最小値を $k$ で表せ．

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2022　関西大学　全学日程理系2月2日実施

易□　並□　難□

【２】　次のを数値でうめよ．

　数列 ${a_{n}} ，$ ${b_{n}}$ を

$a_{n} = \int_{1}^{3} x e^{n x^{2}} dx ，$ $b_{n} = \int_{1}^{3} e^{n x^{2}} dx$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

で定める．このとき，

$a_{n} = \frac{1}{① n} (e^{② n} - e^{n})$

となる．よって

$\log n a_{n} = ③ n + \log (i - e^{④ n}) - \log 2$

である． $1 ≦ x ≦ 3$ に対して

$e^{n x^{2}} ≦ x e^{n x^{2}} ≦ 3 e^{n x^{2}}$

なので， $⑤ a_{n} ≦ b_{n} ≦ a_{n}$ となり，はさみうちの原理より

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log n b_{n} = ⑥$

となる．

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易□　並□　難□

【３】　三角形 $OAB$ において，

$OA = 4 ，$ $OB = 5 ，$ $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \frac{5}{2}$

とし，辺 $AB$ を $1 : 5$ に内分する点を $P$ とし， $4 : 5$ に内分する点を $Q$ とする．

(1)　 $AB$ と $OP$ の長さを求めよ．

(2)　三角形 $OPQ$ の面積を求めよ．

(3)　 $\sin ∠POQ$ の値を求めよ．

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2022　関西大学　2月2日実施

易□　並□　難□

【４】　次のをうめよ．

(1)　 $p ，$ $q$ を $1$ より大きい実数とする． $x ，$ $y ，$ $z$ を $x y z \neq 0$ かつ $p^{x} = q^{y} = {(p q)}^{z}$ を満たす実数とするとき， $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ を $z$ を用いて表すと $①$ になる．