2022　関西大　全学日程文系2月5日実施MathJax

(1)　$f(x)=0$が$x=-1$および$x=2$を解にもつときの$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　$f(x)=0$が$x=1$を重解にもつときの$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(3)　$f(x)=0$が$x=2$を重解にもつときの$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(4)　$f(x)=0$が$2$つの異なる実数解をもち，それらが$-1$より大きく，$2$より小さくなるような点$(a,b)$の存在する領域を解答欄の座標平面に図示せよ．

　$t>0$とし，曲線$y=x^2-2x$上の点で$x$座標が$t$であるものを$\mathrm{P}$とおく．$\mathrm{O}$を原点とすると，線分$\mathrm{OP}$の長さの$2$乗は${\mathrm{OP}}^2=t^6-4t^4+\text{①}{t}^2$である．さらに，$k>0$とし，${\mathrm{OP}}^2=k$となる$t$の個数を$n$とする．$n=1$となるのは，$0<k<\text{②}$または$k>\text{③}$のときである．また，$n=2$となるときの$t^2$の値は

$t^2＝{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$\text{④}\text{，}$$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$

である．ただし，

${\displaystyle \frac{2}{3}}<\text{④}<\text{⑤}<\text{⑥}$

である．

　まず，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}$である．また，$\mathrm{PS}:\mathrm{SQ}=r:(1-r)$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\text{①}\overrightarrow{a}+\text{②}\overrightarrow{b}$

となる．よって，$r$を$p\text{，}$$q$の式で表すと，$r=\text{③}$となる．さらに，相加平均と相乗平均の大小関係より，不等式

${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OS}}\right|}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{\text{④}}}+{\displaystyle \frac{1}{\text{⑤}}})$$\geqq \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{\text{④}\times \text{⑤}}}}$

が成り立つ．ただし，$\text{④}$は$p$の式で，$\text{⑤}$は$q$の式でうめよ．

　$p\text{，}$$q$が

${(\text{④})}^2+{(\text{⑤})}^2=1$

を満たすとする．このとき，$\text{④}\times \text{⑤}$の最大値は$\text{⑥}$である．さらに，$\text{④}\times \text{⑤}$が最大となるとき，上の不等式において等号が成り立つ．よって，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OS}}\right|$は$p={\displaystyle \frac{\text{⑦}}{\mathrm{２}}}$のときに最大となる．