2022　関西大　全学日程文系2月3日実施MathJax

【１】　${\alpha }^5=1$を満たす複素数$\alpha$で，実部と接部がともに正であるものを以下のようにして求める．次の$$をうめよ．

　 $x^5-1$を$x-1$で割ると，商は$\text{①}\text{，}$余りは$0$である．$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおき，${\displaystyle \frac{\text{①}}{x^2}}$を$t$の式で表すと，

${\displaystyle \frac{\text{①}}{x^2}}=\text{②}$

である．さらに，$\text{②}=0$となる$t$の値は$\text{③}$である．

　よって，$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$は実数である．さらに，$\alpha$の実部と患部がともに正であるから．$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$の値は$\text{④}$である．したがって，$\alpha$の実部は$\text{⑤}\text{，}$虚部は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{⑥}}}{4}}$である．

【２】　座標平面上の点$\mathrm{P}$は，原点$(0,0)$から出発し，$1$つのさいころを投げて，$3$以上の目が出れば$x$軸の正の方向に$1$だけ進み，$2$以下の目が出れば，$y$軸の正の方向に$1$だけ進むものとする．例えば，さいころを$2$回投げたとき，$1$回目に$4$の目が出て$2$回目に$1$の目が出たとすると，$\mathrm{P}$は$(0,0)$から$(1,0)$に進んだ後，$(1,1)$に進む．次の$$をうめよ．

(1)　さいころを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$(2,0)$にある確率は$\text{①}$である．

(2)　さいころを$4$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$(1,3)$にある確率は$\text{②}$である．

(3)　さいころを$6$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$(2,4)$にある確率は$\text{③}$である．

(4)　さいころを$8$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$(4,1)$を通って$(6,2)$にある確率は$\text{④}$である．

(5)　さいころを$8$回投げたとき，$\mathrm{P}$が$(2,2)$を通らずに$(3,5)$にある確率は${\displaystyle \frac{2^{\text{⑤}}}{3^{\text{⑥}}}}$である．

【３】　負の実数$s$および正の実数$t$に対して，$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}$$(s,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,s)\text{，}$$\mathrm{P}$$(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とし，$\alpha =\mathrm{\angle APH}\text{，}$$\beta =\mathrm{\angle BPH}$とおく．$\tan \alpha \text{，}$$\tan \beta$を$s\text{，}$$t$の式で表せ．

(2)　$\tan \mathrm{\angle APB}$を$\tan \mathrm{\angle APB}={\displaystyle \frac{F}{G}}$と表す．ただし，$F\text{，}$$G$は$s$と$t$についての$4$次の多項式であり，$G$の定数項は$1$である．$F\text{，}$$G$を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle APB}=45\mathrm{°}$となる$t$が$2$個存在するとき，$t^2$を$s$の式で表せ．また，そのときの$s$のとりうる値の範囲を求めよ．