2022　関西大　全学日程総合情報学部2月1日実施MathJax

【１】　$n$を$3$以上の自然数とし，$n\times n$ブロックの街区（各ブロックの大きさはすべて等しい）を考える．例えば$n=3$の場合は図１のようになる．街区の左上端の点を$\mathrm{A}\text{，}$右下端の点を$\mathrm{B}$として，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで縦横の街路を通って最短距離で行く道順を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　図１のような$3\times 3$ブロックの街区について，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は何通りあるかを求めよ．

(2)　(1)の街区に対して，左から$2$番目で上から$2$番目のブロックに，図２のように横方向の街路$\mathrm{CD}$を付け加える．このとき，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は何通りあるかを求めよ．

(3)　$n\times n$ブロックの街区に対して，左から$k$番目で上から$k$番目のブロックに横方向の街路をひとつ付け加えたとき，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道願は，付け加える前と比べて何通り増えるかを，$n$と$k$を用いて表せ．ただし，$k$は$1\leqq k\leqq n$を満たす自然数とする．

【２】　$2$曲線

$C\text{：}y=x^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{10}{3}}$

$l\text{：}y=-2|x-1|+2$

がある．次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$l$は異なる$2$つの共有点をもつ．それぞれの座標を求めよ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$1$個のさいころを$2$回投げて出た目を順に$p\text{，}$$q$とし，

$a_1=0\text{，}$$a_{n+1}=p{a}_n+q$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．次の$$をうめよ．ただし，$\text{①}\text{，}$$\text{③}\text{，}$$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$は$p\text{，}$$q\text{，}$$n$を用いた式で表せ．

(1)　$a_2\geqq 5$となる条件は$\text{①}$であり，その確率は$\text{②}$である．

(2)　$a_3\geqq 10$となる条件は$\text{③}$であり，その確率は$\text{④}$である．

(3)　$p=1$のとき$a_n=\text{⑤}$であり，$p\ne 1$のとき$a_n=\text{⑥}$である．よって$a_5\leqq 100$となる確率は$\text{⑦}$である．

【４】　$a\text{，}$$b$を正の実数とする．

$f(x)=a{\sin }^{3}x\cos x-b{\sin }^{4}x$$+b{\cos }^{4}x+a\sin x{\cos }^{3}x-1$

とおくとき，次の$$をうめよ．

　$f(x)=\text{①}\sin 2x$$+\text{②}\cos 2x-1$のように変形できるから，$0\leqq x\leqq \pi$における$f(x)$の最大値$M\text{，}$最小値$m$を$a\text{，}$$b$を用いて表せば$M=\text{③}\text{，}$$m=\text{④}$となる．また$a\text{，}$$b$が$3M+m=0$を満たしながら変化するとき，$2a+\sqrt{3}b$の最大値は$\text{⑤}$である．