2022　関西大　全学日程文系2月2日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．ただし，$\text{②}\text{〜}$は数値でうめよ．

　$\mathrm{AB}=7\text{．}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=6$であるような$\mathrm{▵ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{P}$は正の数$x\text{，}$$y$に対して，

$10\overrightarrow{\mathrm{PA}}+x\overrightarrow{\mathrm{PB}}+y\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$

を満たしている．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$および$x\text{，}$$y$を用いて表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{1}{\text{①}}}(x\overrightarrow{\mathrm{AB}}+y\overrightarrow{\mathrm{AC}})$

である．ここで，$\mathrm{P}$が$\mathrm{▵ABC}$の内心であるとする．このとき，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\text{②}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\text{③}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

である．さらに，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\text{④}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\text{⑤}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

となるので，$x+y=\text{⑦}$である．また，$\mathrm{R}$を$\mathrm{▵ABC}$の重心とすると，

$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\text{⑦}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

となる．

【２】　次の$$をうめよ．ただし，$\text{①}\text{〜}$$\text{③}$は$t$についての多項式で，$\text{④}\text{〜}$$\text{⑦}$は数値でうめよ．

　$t=\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$とおくと，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\text{①}}{1+t^2}}\text{，}$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{②}}{1+t^2}}$である．よって，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <\pi$とし，

$f(\theta )={\displaystyle \frac{2\sin \theta +4\cos \theta +5}{\sin \theta +\cos \theta +1}}$

とおくと，

$f(\theta )={\displaystyle \frac{1}{2}}(\text{③}+{\displaystyle \frac{6}{\text{③}}}+\text{④})$

である．したがって，関数$f(\theta )$は$t=\text{⑤}$のとき，最小値$\text{⑥}$をとる．さらに，$t=\text{⑤}$のとき，$\tan \theta =-{\displaystyle \frac{3+\text{⑦}}{3}}$である．

【３】　$2$次関数$f(x)=x^2-2x+3$によって定まる放物線$y=f(x)$を$C$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}$$(a,f(a))$における接線$l$の方程式を求めよ．

　$0<a<3$とする．このとき，$C$と$l$および直線$x=3$で囲まれた図形の面積を$S_1$とする．また，$C$と$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．

(2)　$S_1$を$a$の式で表せ．

(3)　$2S_2-S_1=5$となる$a$の値を求めよ．