2022　関西大　全学日程理系2月5日実施MathJax

【１】　座標平面上に，$2$曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{x^2+2}}\text{，}$$C_2\text{：}y=\sqrt{2-x^2}$がある．

(1)　関数$f(x)＝{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{x^2+2}}$の導関数を求めよ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{x^2+2}}$の増減を調べて，$y=f(x)$のグラフの概形を解答欄の座標平面上に描け．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{2}}}{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{x^2+2}}\mathit{dx}$の値を求めよ．

(4)　$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$1$象限にあるものの$x$座標を$p$とする．$0\leqq x\leqq p$において，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}$$p\leqq x\leqq \sqrt{2}$において$C_1\text{，}$$C_2$および直線$x=\sqrt{2}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1-S_2$を計算することによって，$S_1$と$S_2$の大小を調べよ．

【２】　次の$$をうめよ．

　座標空間に，$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,1,4)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,-2,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,2,-2)$を頂点とする四面体がある．また，頂点$\mathrm{A}$から三角形$\mathrm{OBC}$を含む平面に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{K}$とする．

(1)　辺$\mathrm{OB}$の長さは$\text{①}$であり，辺$\mathrm{OC}$の長さは$\text{②}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\text{③}$より，三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\text{④}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=p\overrightarrow{\mathrm{OB}}+q\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$\text{（}p\text{，}$$q$は実数）とすると，$p=\text{⑤}\text{，}$$q=\text{⑥}$である．また，線分$\mathrm{AK}$の長さは$\text{⑦}$である．

(3)　四面体$\mathrm{OAKB}$と四面体$\mathrm{OABC}$の体積比は$1:\text{⑧}$である．

【３】　次の$$をうめよ．

　$\mathrm{O}$$(0,0)$を原点とする複素数平面上に複素数$\alpha =\sqrt{6}+\sqrt{2}i$がある．ただし，$i$は虚数単位で，$-\pi \leqq \arg \alpha <\pi$とする．

(1)　$\left|\alpha \right|=\text{①}$であり，$\arg \alpha =\text{②}$である．

(2)　${\alpha }^n$が正の実数となるような，$2$桁の正の整数$n$で最大のものは$\text{③}$である．

(3)　$\alpha \text{，}$${\displaystyle \frac{6}{\alpha }}$が表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\text{④}$である．

(4)　(3)のとき，辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{\angle AOB}$の二等分線の交点を$\mathrm{C}(\beta )$とする．$\beta =\text{⑤}$である．また，$|z+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{7}}-\sqrt{3}i|=1$を満たす複素数$z$が描く図形を$D$とする．$D$上の複素数$z$において，$|z-\beta |$のとり得る値の範囲は，$\text{⑥}\leqq |z-\beta |\leqq \text{⑦}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(1)　$n$を$2$以上の自然数とする．箱の中に$2n$枚のカードがあり，それぞれのカードには$1$から$2n$までの異なる数が$1$つずつ記入されている．この箱の中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，カードに書かれた数の和が$2n$に等しくなるような取り出し方は$\text{①}$通りあり，その確率が${\displaystyle \frac{3}{28}}$であるとき，$n=\text{②}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(2)　$4$で割っても，$5$で割っても余りが$2$となるような自然数を小さい方から並べてできる数列を$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とする．$a_n$を$n$を用いて表すと，$a_n=\text{③}$である．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$の値が$4$桁の自然数となるような$n$の最小値は$\text{④}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(3)　$y={\log }_{\frac{1}{4}}(x-1)$のグラフを$x$軸に関して対称移動したグラフを$C_1$とする．$C_1$の方程式を，$4$を底とする対数を用いて表すと，$y=\text{⑤}$である．また，$y={\log }_{4}x$のグラフを$x$軸方向に$-8\text{，}$$y$軸方向に$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の共有点の$x$座標は$\text{⑥}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(4)　$p=\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+ax-1}-x-1}{x-1}}$が有限な値となるような定数$a$の値は$\text{⑦}$であり，このとき，$p=\text{⑧}$である．