2022　関西大学　全学日程文系2月6日実施MathJax

2022-14991-0901

2022　関西大学　全学日程文系

2月6日実施

易□　並□　難□

【１】　次のを数値でうめよ．

(1)　 $t$ についての不等式

$t^{3} - 2 t^{2} - 5 t + 6 ≧ 0$

を解くと， $① ≦ t ≦ 1$ または $② ≦ t$ である．

(2)　 $x$ についての不等式

${(\log_{2} x)}^{3} - 2 {(\log_{2} x)}^{2} - 5 {los}_{2} x + 6 ≧ 0$

を解くと， $③ ≦ x ≦ 2$ または $④ ≦ x$ である．

{3}　 $x$ についての不等式

${(\log_{2} x)}^{2} - 2 \log_{2} x - 6 \log_{x} 2 ≧ 5$

を解くと，

$⑤ < x ≦ ⑥$

または

$⑦ < x ≦ 2$

または

$④ ≦ x$

である．

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2月6日実施

易□　並□　難□

【２】　放物線 $y = x^{2}$ を $C$ とおき， $a > 0$ に対して， $C$ 上の点 $P$ $(a, a^{2})$ における接線を $l$ とおく．さらに， $C$ 上の点 $Q$ を， $Q$ における $C$ の接線 $m$ が $l$ と垂直に交わように選んでおく．このとき， $l$ と $m$ の交点を $R$ とおく．次のをうめよ．

　 $Q$ の $x$ 座標は $①$ であり， $m$ の方程式は $y = ②$ である．また， $R$ の $x$ 座標は $\frac{③}{8 a} ，$ $y$ 座標は $④$ である．さらに， $a$ の関数 $① - a$ は $a = ⑤$ のとき，最大値をとる．このとき， $l$ と $m$ および $C$ で囲まれた図形の面積は $⑥$ である．

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2月6日実施

易□　並□　難□

【３】　 $p$ を $3$ 以上の整数とし，次のように定められた数列 ${a_{n}}$ を考える．

$a_{1} = 1 ，$ $a_{2} = 2 p ，$ $a_{n + 2} - 2 p a_{n + 1} + p^{2} a_{n} = 0$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

　次の問いに答えよ．

(1)　 $b_{n} = a_{n + 1} - p a_{n}$ とおく． $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ を用いて表せ．さらに， ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

{2}　 $c_{n} = \frac{a_{n}}{p^{n}}$ とおく． $c_{n + 1}$ を $c_{n}$ を用いて表せ．

{3}　 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(4)　任意の $n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ， \dots$ に対して， $a_{n}$ を $p - 1$ で割った余りと， $n$ を $p - 1$ で割った余りが等しくなることを，数学的帰納法を用いないで示せ．

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