2022　関西大　全学日程共通テスト利用理系2月7日実施MathJax

(1)　$P(x)$をその微分でえられる多項式$P^{\prime }(x)$で割った商と余りを求めよ．

(2)　方程式$P(x)=0$が$3$重解を持つとき，$a$の値を求めよ．

{3}　方程式$P(x)=0$が$3$重解を持たないが$2$重解を持つとき，$a$の値を求めよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\text{①}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は$\text{②}$である．また，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{③}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$$(a,b,c)$が平面$\alpha$上にあるとき，$c$は$a\text{，}$$b$を用いて$c=\text{④}$と表される．

(3)点$\mathrm{P}$$(a,b,c)$が平面$\alpha$上にないとき，$\mathrm{P}$から$\alpha$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$s\text{，}$$t$は$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて

$s={\displaystyle \frac{1}{6}}(\text{⑤})\text{，}$$t={\displaystyle \frac{1}{6}}(\text{⑥})$

と表される．$\mathrm{H}$が$\mathrm{▵ABC}$の重心に一致し，かつ中心が$\mathrm{A}$で，半径が$\text{①}$の球面上に$\mathrm{P}$があるとき，$a=\text{⑦}$である．

(1)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{r}^{3n-1}$が収束するような実数$r$の範囲を求めよ．また，そのときの和を$r$を用いて表せ．

(2)　数列$\{S_m\}$を

$S_m={\displaystyle \sum _{n=1}^{3m}}(\sin {\displaystyle \frac{2n}{3}}\pi )r^{n-1}$

で定める．$r$が(1)で求めた範囲にあるとき，極限$\underset{m\to \infty }{\lim }{S}_m$を求めよ．

(3)　(2)で求めた極限を$f(r)$とおくとき，積分

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(1+2r)f(r)\mathit{dr}$

を求めよ．ただし，$x$は(1)で求めた範囲内の実数とする．

(4}　{3}で求めた関数$F(x)$の極値を求めよ．

$I(a)={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{(\sin x-ax)}^2\mathit{dx}$

の最小値は$\text{①}$であり，最小値を与える$a$の値は$\text{②}$である．

$a_1=\sqrt[3]{3}\text{，}$$a_2=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3}}\text{，}$$a_3=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3}}}\text{，}$$a_4=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3}}}}\text{，}\cdots$

で定めたとき，

$a_n=3^{\frac{1}{2}(\text{④})}\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\text{⑤}$

となる．

$n(A\cup B\cup C)=121\text{，}$$n(A)=67\text{，}$$n(B)=41\text{，}$$n(C)=51\text{，}$$n(A\cap B\cap C)=4$

を満たしている．このとき，$A\text{，}$$B\text{，}$$C$の少なくとも$2$つに属している要素の個数は$\text{⑦}$である．