2022　関西大　全学日程文系2月7日実施MathJax

$\mathrm{AB}:\mathrm{BP}=2:(1+2p)$

となるようにとる．このとき，$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{OB}$に平行な直線と辺$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また，直線$\mathrm{CP}$上の点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{CD}$の中点となるようにとる．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の$$をうめよ．

　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および$p$を用いて表すと，それぞれ

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\text{①})\overrightarrow{a}+(\text{②})\overrightarrow{b}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(\text{①})\overrightarrow{a}+(\text{③})\overrightarrow{b}$

である．さらに，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1$とする．このとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|}^2$を$p$の式で表すと，${\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|}^2=\text{④}$である．よって，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|$は$p=\text{⑤}$のとき，最小値$\text{⑥}$をとる．

　次のように定められた数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$a_{n+1}=-a_n+{\displaystyle \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　数列$\{b_n\}$を

$b_n=a_n-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定めると，$b_1=\text{①}$であり，$b_{n+1}$は$b_n$を用いて，$b_{n+1}=\text{②}$と表される．よって，$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{③}$となる．

　さらに，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$とすると，$a_{2k-1}$は$k$を用いて，$a_{2k-1}={\displaystyle \frac{\text{④}}{2k}}$と表される．また，$a_{2k}$は$k$を用いて，$a_{2k}={\displaystyle \frac{\text{⑤}}{2k+1}}$と表される．したがって，$\{a_n\}$の初項から第$2k$項までの積は$k$を用いて，$a_1{a}_2\cdots a_{2k}=\text{⑥}$と表される．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<y<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で，$x^2=\pi y$かつ$\cos (x+y)=0$となる$x\text{，}$$y$を求めよ．

(2)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<y<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で，不等式

$(\pi y-x^2)\cos (x+y)>0$

の表す領域を解答欄の座標平面に図示せよ．