2022　関西大学　全学日程総合情報学部2月6日実施MathJax

2022-14991-1201

2022　関西大学　全学日程総合情報学部

2月6日実施

易□　並□　難□

【１】　空間に $3$ 点 $A$ $(a, 0, 0) ，$ $B$ $(0, b, 0) ，$ $C$ $(0, 0, c)$ をとる．ただし， $a > 0 ，$ $b > 0 ，$ $c > 0$ とする．線分 $AC$ を $t : 1 - t$ に内分する点を $P$ とし，線分 $BC$ を $1 - t : t$ に内分する点を $Q$ とする $（ 0 ≦ t ≦ 1 ）．$

(1)　 $P$ と $Q$ の座標をそれぞれ求めよ．また，ベクトル $\vec{PQ}$ と $\vec{n} = (\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})$ との内積は $t$ の値によらず一定であることを示せ．

(2)　線分 $PQ$ の長さを直径とする円の面積 $S (t)$ を求めよ．また， $S (t)$ が最小となる $t$ の値を求めよ．

(3)　(2)の $S (t)$ について，積分 $\int_{0}^{1} S (t) dt$ を求めよ．

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【２】　 $f (x) = x (3 - x)$ とおく．曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸とで囲まれる部分の面積を $S$ とする． $x$ 軸上の線分 ${x | 0 ≦ x ≦ 3}$ を線分 $I_{k} = {x | \frac{k - 1}{n} ≦ x ≦ \frac{k}{n}}$ によって $3 n$ 等分する $（ k = 1 ，$ $2 ， \dots ，$ $3 n ）．$ $I_{k}$ の長さと $f (\frac{k}{n})$ を縦と横の長さとする長方形の面積の総和を $S_{n}$ とする．ただし， $n$ は自然数である．

(1)　 $S_{1}$ を求めよ．

(2)　 $S - S_{n}$ を求めよ．

(3)　 $S - S_{n} < \frac{S}{10^{4}}$ となるような最小の自然数 $n$ を求めよ．

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【３】　 $1$ から $9$ までの自然数が $1$ 枚に $1$ つずつ書かれた $9$ 枚のカードがある．それらをよくまぜてから $1$ 枚のカードを取り出し，取り出したカードに書かれた数を $a$ とする．取り出したカードを元に戻し，同様に $9$ 枚のカードから $1$ 枚を取り出し，取り出したカードに書かれた数を $b$ とする．円

$C ： x^{2} - 2 a x + y^{2} - a y + \frac{5}{4} a^{2} - b = 0$

を考えるとき，次のをうめよ．ただし， $① ，$ $③ ，$ $⑤$ は $a ，$ $b$ を用いた式でうめよ．

(1)　円 $C$ の中心と原点との距離が $10$ 以下となる条件は $①$ であり，その確率は $②$ である．

(2)　原点が円 $C$ の内部（円周上は含まない）にある条件は $③$ であり，その確率は $④$ である．

(3)　円 $C$ と直線 $y = x$ が異なる $2$ つの共有点をもつための条件は $⑤$ であり，その確率は $⑥$ である．

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【４】　数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 2 ，$ $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 2 {a_{n}}^{- \frac{3}{2}}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ， \dots ）$ を満たしている． $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ とおくとき，次のをうめよ．

　正の実数 $x$ に対して $\log_{2} (2 x^{- \frac{3}{2}}) = ① + ② \log_{2} x$ が成り立つので，与えられた ${a_{n}}$ の漸化式から $b_{n + 1} + ③ b_{n} + ④ = 0$ が得られる．このことから数列 ${b_{n} - \frac{2}{3}}$ は公比 $⑤$ の等比数列であることがわかり， $b_{n} = ⑥$ となる．よって， $| b_{n} - b_{n - 1} | < \frac{1}{1024}$ となる最小の $n$ は $⑦$ である．