2022　関西学院大　文系学部全学日程2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数とし，関数$f(x)=x(|x|-4)+a$を考える．

(ⅰ)　$x\leqq 0$のとき，$f(x)$は$x=\text{ア}$で最大値$\text{イ}$をとる．

(ⅱ)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}$である．このとき，これら$3$個の実数解の和が$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$となるような$a$の値は$\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　袋$\mathrm{A}$には赤色のカードが$4$枚，白色のカードが$2$枚入っている．また，袋$\mathrm{B}$には赤色のカードが$3$枚，白色のカードが$2$枚入っている．$1$枚のコインを投げて，表が出たときは袋$\mathrm{A}$から$2$枚のカードを同時に取り出し，裏が出たときは袋$\mathrm{B}$から$2$枚のカードを同時に取り出す．

(ⅰ)　袋$\mathrm{A}$を選び，かつ，赤色の$2$枚のカードを取り出す確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　赤色の$2$枚のカードを取り出す確率は$\text{カ}$である．

(ⅲ)　赤色の$2$枚のカードを取り出したとき，そのカードが袋$\mathrm{A}$に入っていた条件付き確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数とし，方程式

$x^3-(2a+1)x^2-3(a-1)x-a+5=0$$\cdots \text{①}$

を考える．

(ⅰ)　$a$がどのような値でも方程式$\text{①}$は$x=\text{ア}$を解にもつ．

(ⅱ)　方程式$\text{①}$が異なる$3$つの負の解をもつような$a$の値の範囲は，$a<\text{イ}\text{，}$$\text{イ}<a<\text{ウ}$である，

(ⅲ)　$k$を正の実数とし，方程式$x^3-1=0$の虚数解の$1$つを$\omega$とする．方程式$\text{①}$が$x=\omega +k$を解にもつとき$a=\text{エ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　等差数列$\{a_n\}$は$a_1+a_2=7\text{，}$$a_1+a_3+a_5=24$を満たし，等比数列$\{b_n\}$は公比が実数であり初項から第$3$項までの和が$7\text{，}$初項から第$6$項までの利が$63$である．このとき，等差数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{オ}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}}=\text{カ}$である．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{b}_k=\text{キ}$である．

【３】　$a$を$0<a<4$を満たす実数とする．関数$f(x)=x^3-3x^2+ax$と

$g(x)=x(3x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^2}g(t)\mathit{dt})$

を満たす関数$g(x)$について，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^2}g(t)\mathit{dt}$の値を求めよ．

(2)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y={\displaystyle {\int }_0^x}g(t)\mathit{dt}$で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$$2$つの曲線の$x\geqq {\displaystyle \frac{a}{2}}$の部分と直線$x=2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$2$つの部分の面積の和$S=S_1+S_2$を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた$S$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．