2022　関西学院大　理工学部全学日程MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{17}\text{，}$$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=\sqrt{26}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{10}$を満たすとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{ア}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\text{イ}$である．$t$が実数全体を動くとき，${|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}^2$を$t$を用いて表すと$\text{ウ}$となるから，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値に最も近い整数は$\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$2022$の正の約数のうち，$3$桁のものの和は$\text{オ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$a$は$1$でない正の定数とする．

${\log }_a(x+4)+{\log }_a(x-2)>{\log }_a(7x-2)$

を満たす$x$の範囲は，$a>1$ならば$\text{カ}$であり，$0<a<1$ならば$\text{キ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(4)　${(1+i)}^6=\text{ク}$である．また，${\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+i}}\right)}^6=\text{ケ}\text{，}$${\left({\displaystyle \frac{1-i}{\sqrt{3}-i}}\right)}^{12}=\text{コ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　条件

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=a_n+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列を$\{a_n\}\text{，}$条件

$b_1=1\text{，}$$b_{n+1}=2b_n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列を$\{b_n\}$とする．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{ア}$である．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}}{a}_{2k-1}$の値は$\text{イ}$である．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般頃は$b_n=\text{ウ}$である．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を$n$の式で表すと，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k=\text{エ}$である．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k{a}_{k+1}}}$を$n$の式で表すと${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\text{オ}}$である．ゆえに，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{a_k{a}_{k+1}}}$の値は$\text{カ}$である．

　また，$\sqrt{n}(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}}$より，$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}（\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})$の値は$\text{ク}$である．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\cdot 2^k$を$n$の式で表すと，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\cdot 2^k=\text{ケ}$である．

　また，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{b}_k$を$n$の式で表すと${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{b}_k=\text{コ}$である．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　第$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$があり，それぞれに$4$枚のカードが入っている，各箱のカードには，$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の番号がつけられている．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$からカードを$1$枚ずつ取り出し，出た数をそれぞれ$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$c_1\text{，}$$d_1$とする．

(1)　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$c_1\text{，}$$d_1$がすべて同じ数である場合は$\text{ア}$通りあり，すべて異なる場合は$\text{イ}$通りある．また，$a_1<b_1<c_1=d_1$となる場合は$\text{ウ}$通りあり，$a_1=b_1<c_1=d_1$となる場合は$\text{エ}$通りある．

(2)　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$c_1\text{，}$$d_1$がすべて$2$以下である場合は$\text{オ}$通りあり，$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$c_1\text{，}$$d_1$の中で最大の数が$4$である場合は$\text{カ}$通りある．

(3)　取り出したカードは元の箱に戻し，もう一度，箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$からカードを$1$枚ずつ取り出し，出た数をそれぞれ$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$c_2\text{，}$$d_2$とする．$i=1\text{，}$$2$とし，次のように$s_i$を定める．

$\{\begin{array}{l}{s}_i=a_i\text{（}{b}_i\text{，}{c}_i\text{，}{d}_i\text{のどれも}{a}_i\text{と一致しないとき）}\\ s_i=0\text{（それ以外のとき）}\end{array}$

$s_1=4$となる確率は$\text{キ}$である．$s_1=0$となる確率は$\text{ク}$である．$s_1$も$s_2$も正で$s_1+s_2\geqq 4$となる確率$p$を求めよう．そのような$s_1\text{，}$$s_2$の組$(s_1,s_2)$は$\text{ケ}$個あり，$p={\displaystyle \frac{\text{コ}}{65536}}$である．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(t-x)\cos t\mathit{dt}+1$

とし，関数$g(x)$は

$g(x)=\sin x+3{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}g(t)\cos t\mathit{dt}-{\displaystyle \frac{3}{8}}$

を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }x\cos x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}g(t)\cos t\mathit{dt}$の値を求め，$g(x)$を求めよ．

(4)　$-\pi \leqq x\leqq \pi$において，$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．また，この図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．