2022　関西学院大　文，法学部2月3日実施MathJax

(1)　$a$を実数とし，関数$f(x)=a{x}^2+4ax+3a-2$を考える．

(ⅰ)　$a=-1$のとき，$-5\leqq x\leqq 0$における$f(x)$の最大値は$\text{ア}$である．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$が$x$軸と共有点をもたない放物線であるとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{イ}$である．

(ⅲ)　$-5\leqq x\leqq 0$を満たすすべての$x$に対して$f(x)\leqq 0$が成り立つとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}$である．

(2)　$p$を素数，$n$を自然数とする．このとき，

${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{p^n}}$かつ$x<y$$\cdots \text{①}$

を満たす自然数$x\text{，}$$y$を考える．

(ⅰ)　$p=3\text{，}$$n=1$のとき，$\text{①}$を満たす自然数$x\text{，}$$y$の値の組は$(x,y)=\text{エ}$である．

(ⅱ)　$n=1$のとき，$\text{①}$を満たす自然数$x\text{，}$$y$の値の組は$(x,y)=\text{オ}$である．

(ⅲ)　$n=2$のとき，$\text{①}$を満たす自然数$x\text{，}$$y$の値の組は全部で$\text{カ}$組ある．

(ⅳ)　自然数$n$に対して，$\text{①}$を満たす自然数$x\text{，}$$y$の値の組は全部で$\text{キ}$組ある．

　ただし，$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}$は$(a,b)$の形で答えよ．

(1)　$a$を正の実数とし，$a\ne 1$とする．また，$xy$平面上の円$x^2+y^2+6ax-2ay+20a-10=0$を$C$とする．このとき，円$C$は$a$の値にかかわらず点$\text{ア}$を通り，中心は直線$y=\text{イ}$上にある．ただし，$\text{ア}$は$(p,q)$の形で答えよ．また，円$C$と円$x^2+y^2=5$が外接するとき，$a=\text{ウ}$である．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{OM}$の中点を$\mathrm{N}\text{，}$直線$\mathrm{AN}$と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\text{エ}$であり，${\displaystyle \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{NP}}}=\text{オ}$である．$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{OM}=1$のとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{カ}$であり，$\mathrm{▵ONP}$の面積は$\text{キ}$である．

(1)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(3)　(2)で面積を求めた図形のうち，曲線$y=h(x)$より下側の部分の面積$T$を求めよ．