2022　関西学院大　文系共通テスト併用2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数とし，放物線$y=x^2-(2a+4)x+2a^2-12a-32$を$C$とする．放物線$C$が$y$軸の正の部分と交わるような$a$の取りうる値の範囲は$a<\text{ア}\text{，}$$\text{イ}<a$である．また，放物線$C$と$x$軸の正の部分が異なる$2$点で交わるような$a$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}<a<\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，点$\mathrm{P}$は以下の規則にしたがって$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の間を移動する，点$\mathrm{P}$は最初$\mathrm{O}$にある．$\mathrm{P}$は$1$秒後に，現在いる点以外の$3$点のいずれかにそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で移動することを繰り返す．$1$秒後から$n$秒後までに，$\mathrm{P}$が(ⅰ)〜(ⅲ)それぞれの条件を満たす確率を求めよ．ただし$n$は$2$以上の自然数とする，

(ⅰ)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$だけを訪れる確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と$\mathrm{C}$を訪れず，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の両方を訪れる確率は$\text{カ}$である．

(ⅲ)　$n\geqq 3$とする．$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$を訪れず，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$すべてを訪れる確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　正の実数$x\text{，}$$y$が

${({\log }_{2}x)}^2+{({\log }_{2}y)}^2={\log }_2{x}^2+{\log }_2{y}^4$$\cdots \text{①}$

を満たしながら変化している．$X={\log }_{2}x\text{，}$$Y={\log }_{2}y$とおくと，$\text{①}$は$X\text{，}$$Y$を用いて表すと

${(X-1)}^2+{(Y-2)}^2=\text{ア}$

である．このとき，${\log }_{2}x{y}^2$は$(x,y)=\text{イ}$で最大値をとり，$(x,y)=\text{ウ}$で微小値をとる．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$3$点$\mathrm{A}$$(2,1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,2,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,4,0)$がある．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{エ}$である．また，$\cos \mathrm{\angle AOB}=\text{オ}$であるから，$\mathrm{▵OAB}$の面積は$\text{カ}\text{，}$四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\text{キ}$である．

【３】　$a\text{，}$$b$を正の実数とし，$0<a<\sqrt{3}$とする．座標平面上に点$\mathrm{A}$$(\sqrt{3},{\displaystyle \frac{3}{2}})\text{，}$放物線$C\text{：}y=3-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\text{，}$円$K\text{：}{(x-a)}^2+{(y-b)}^2=b^2$がある．また，点$\mathrm{A}$における放物線$C$の接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　蘆線$l$の方程式を求めよ，

(2)　円$K$と直線$l$が点$\mathrm{A}$で接するとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b$を(2)で求めた値とする，円$K$の中心を$\mathrm{P}$とし，円$K$と$x$軸との接点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{\angle APB}$の大きさを求めよ，また，連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq 3-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\text{，}\\ {(x-a)}^2+{(y-b)}^2\geqq b^2\text{，}\\ y\geqq 0\end{array}$

で表される領域のうち，直線$\mathrm{AB}$より上側の部分の面積$S$を求めよ．