2022　関西学院大　文系学部個別日程2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　四痴体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{OC}=\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\mathrm{\angle COA}=90\mathrm{°}$であるとする．このとき，$\cos \mathrm{\angle ABC}=\text{ア}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{イ}$である．また，頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{OH}=\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　赤玉$5$個と白玉$5$個が入った袋があり，それぞれの色の玉には$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の数が$1$つずつ書かれている．この袋から玉を$1$個ずつ$2$回取り出し，取り出した順に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とし，これらの玉に書かれた数をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．ただし，取り出した玉は袋に戻さないものとする．

(ⅰ)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が同じ色である確率は$\text{エ}$である．

(ⅱ)　$a=b$である確率は$\text{オ}$である．

(ⅲ)　$ab$が$10$で割り切れる確率は$\text{カ}$である．

(ⅳ)　${\displaystyle \frac{b}{a}}$が自然数である確率は$\text{キ}$である．

　ただし，$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$はすべて既約分数で答えよ．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　実数$x\text{，}$$y$に対して

$z={81}^x+9^y-2(3^{2x+1}+3^{y+1})$

とおく．$x$と$y$が$2x+y=2$を満たしながら変化する．このとき，$t=9^x+3^y$とおくと，$t$の取りうる値の範囲は$t\geqq \text{ア}$である．また，$z$を$t$を用いて表すと，$z=\text{イ}$となる．$z$の最小値は$\text{ウ}$であり，このとき，$(x,y)=\text{エ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　公比が正の等比数列$\{a_n\}$があり，$a_2=3\text{，}$$a_3+a_4=18$を満たしている．このとき，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{オ}$である．また

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{a}_k\text{，}$$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_{2k-1}$

とおくと，$S_n=\text{カ}\text{，}$$T_n=\text{キ}{S}_n$である．

【３】　$a$を正の実数とし，$f(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x(x-1)(x-a)|\mathit{dx}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\geqq 1$のとき，$f(a)$を求めよ．

(2)　$0<a<1$のとき，$f(a)$を求めよ．

(3)　関数$f(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．