2022　産業医科大学　医学部MathJax

【１】　空欄にあてはまる適切な数を指示された有効数字桁で求め，解答紙の所定の欄に記入しなさい．

　出血して血圧が下がってしまっている（出血性ショック）状態の患者さんにノルアドレナリンという昇圧剤（血管を収縮させて血圧を上昇させる薬剤）を使用するとき，「ガンマ」という単位を使用する．$1$ガンマとは体重$\text{（}1\mathrm{kg}\text{）}$当たりの投与量と時間$\text{（}1$分）当たりの投与量を掛け合わせた単位で，$1\text{ガンマ}$$=1\mathrm{\mu }/\mathrm{kg}/\text{分}$である．たとえば，体重$50\mathrm{kg}$の患者さんに$1$時間だけノルアドレナリンを$1.5\mathrm{mg}$投与する場合は，$0.5$ガンマである．

　$1\mathrm{kg}={10}^3\mathrm{g}={10}^6\mathrm{mg}={10}^9\mathrm{\mu g}\text{，}$$1\text{時間}=60\text{分}=3600\text{秒}$である．

　体重$80\mathrm{kg}$の患者さんにノルアドレナリンを$5$時間に$7.2\mathrm{mg}$投与したい．

・このとき，$\text{ア}$ガンマ投与，と指示すればよい［有効数字$1$桁］．

・手元には$3\mathrm{g}/\mathrm{L}$のノルアドレナリン溶液がある．使用するノルアドレナリン溶液の量は$\text{イ}\mathrm{mL}$である［有効数字$2$桁］．

・ノルアドレナリン溶液$\text{イ}\mathrm{mL}$に生理食塩水を混ぜて計$100\mathrm{mL}$に調整する．この調整した輸液を，$\text{ウ}$滴で$1\mathrm{mL}$投与される輸液セットを使って点滴により投与する場合，$9$秒間に$1$滴，と指示すればよい［有効数字$1$桁］．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・甲は$1\text{〜}$$9$から$4$つの異なる数字を用意し数字列をつくる．それを乙が当てるゲームをする．乙は数字列を質問する．言われた数字列のうち，甲は，順番があっている数字の個数を$\mathrm{H}\text{，}$順番は違っているが含まれている場合は$\mathrm{B}$で答える．たとえば，甲が$1234$という数字列を用意し，乙の質問が$4283$であったとき，$2$は順番もあっているので$1\mathrm{H}\text{，}$$4$と$3$は含まれているが順番は違うので$2\mathrm{B}\text{，}$したがって甲は$1\mathrm{H}2\mathrm{B}$と答える．また，乙の質問が$2597$であるときは甲の答えは$0\mathrm{H}1\mathrm{B}$である．乙の$3$回の質問に対する甲の答えが次のようなとき甲の用意した数字列は$\text{エ}$である．

(1)　乙の質問$3625\text{：}$甲の答え$1\mathrm{H}1\mathrm{B}$

(2)　乙の質問$1587\text{：}$甲の答え$1\mathrm{H}1\mathrm{B}$

(3)　乙の質問$1965\text{：}$甲の答え$1\mathrm{H}3\mathrm{B}$

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・半径$a$の円の円周上に固定された点$\mathrm{A}$と動く点$\mathrm{P}$がある．弦$\mathrm{AP}$の長さを$L$とする．円の中心を$\mathrm{O}$として，$\mathrm{\angle AOP}=\varphi$とする．また，点$\mathrm{P}$での円の接線と直線$\mathrm{AP}$がなす角度を$\theta$とする$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{．}$点$\mathrm{P}$が円周上を$0<\varphi <\pi$の範囲で動くとき，$f=L^3\cos \theta$が最大になるときの$\cos \varphi$は$\text{オ}$である．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・半径$1$の円に内接する三角形を考える．$3$辺のうち$1$辺の長さが$1$で三角形内部に円の中心を含むとき，この三角形の最も小さな角の大きさは$\text{カ}$度になる．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・$x‐y$平面を考える．原点を通り，二次曲線$4x^2+y^2+8x-4y+4=0$で囲まれる面積を二等分する直線の式は$y=\text{キ}$である．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・$x‐y$平面を考える．二次曲線$y=a{x}^2+bx+c$を考える．ここで，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は定数で，$ac>0$とする．この二次曲線の接線と$x$軸，$y$軸で作られる直角三角形の面積が最小となるとき，その接線の式は$y=\text{ク}$となる．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・不定積分${\displaystyle \int }(2\sqrt{x^2+1}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}})\mathit{dx}$は$\text{ケ}$となる．ただし，積分定数を$C$とする．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・$1={\displaystyle \frac{6(1-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{x}}})}{x-1}}$を解くと，$x=\text{コ}$となる．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・$x‐y$平面を考える．原点を中心とする半径$1$の円$\text{（}{x}^2+y^2=1\text{）}$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．$2$本の接線は常に直交するとする．接点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が円上を動くとき，接線の交点がえがく軌跡の式は$\text{サ}$となる．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・　八角形の$8$個の頂点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}\cdots \text{，}$$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}\cdots \text{，}$$\mathrm{H}$の$8$個の文字が書かれたルーレットを回し，出た文字の頂点に印をつける．合計$3$回ルーレットを回した後，印のついた頂点が三角形になる確率は$\text{シ}$である．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答紙の所定の欄に記入しなさい．

・平面上に原点$\mathrm{O}$を含む四角形$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から$3$点を選び，三角形を作り，その重心を$\mathrm{G}$とおく．この重心$\mathrm{G}$と残りの$1$点を結ぶ線分を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$m\text{，}$$n$は正の整数である．$m:n=\text{ス}$とすれば，どの組み合わせの$3$点を選んでも点$\mathrm{P}$の位置が同じになる．

【３】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．角度の単位はラジアンとする．

　図１に示すように，$x‐y$平面座標において$x$軸上の点$\mathrm{F}$$(f,0)$を中心とする半径$a$の円$C_1$を考える．円$C_1$上にある点$\mathrm{P}$を考える．線分$\mathrm{FP}$が$x$軸となす角度を$x$軸から反時計回りに測ったときの値を${\theta }_1$と置く．点$\mathrm{P}$を中心とする半径$b$の円$C_2$を考える．円$C_2$上のある点$\mathrm{S}$を考える．点$\mathrm{P}$を通り，$x$軸に平行な線を$x^{\prime }$軸と呼ぶ．線分$\mathrm{PS}$が$x^{\prime }$軸となす角度を，$x^{\prime }$軸から反時計回りに測ったときの値を${\theta }_2$とおく．

・点$\mathrm{P}$の座標$(x_1,y_1)$は$a\text{，}$$f\text{，}$${\theta }_1$を用いて，$(x_1,y_1)=(\text{セ})$と表される．

・点$\mathrm{S}$の座標$(x_2,y_2)$は$a\text{，}$$b\text{，}$$f\text{，}$${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2$を用いて，$(x_2,y_2)=(\text{ソ})$と表される．

　媒介変数$t$を用いて，${\theta }_1$を式${\theta }_1={\omega }_{1}t$と表す．ここで，${\omega }_1$は定数で，${\omega }_1>0$とする．同様に，${\theta }_2$は式${\theta }_2={\omega }_{2}t+\varphi$と表す．ここで，${\omega }_2$と$\varphi$は定数で，$0\leqq \varphi <2\pi$とする．$t\geqq 0$とし，$t$の初期値$t=0$からの増加にともない点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{S}$がそれぞれ円$C_1\text{，}$円$C_2$上を周回することを考える．点$\mathrm{P}$が円$C_1$上を$1$周するときの$t$の変化量を，点$\mathrm{P}$の周期$T_{\mathrm{P}}$と呼ぶ．

・$T_{\mathrm{P}}$の値は${\omega }_1$を使って，$\text{タ}$と表わされる．

・$T_{\mathrm{P}}=1\text{，}$$a=2\text{，}$$b=1\text{，}$$f=5$とする．点$\mathrm{P}$と原点の距離を$A\text{，}$点$\mathrm{S}$と原点の距離を$B$とし，$A\text{，}$$B$を媒介変数$t$に対して表示すると図２のようになった．ここで，実線が$A\text{，}$破線が$B$を表す．また，$t=0$と$t=1$で$|A-B|=1$となった．以上のことから，${\omega }_2$の値は$\text{チ}\text{，}$$\varphi$の値は$\text{ツ}$と求められる．

・$a>b$とする．点$\mathrm{S}$の軌跡が半径$a-b$の円になるためには，${\omega }_2$の値は${\omega }_1$の$\text{テ}$倍，$\varphi$の値は$\text{ト}$であればよい．

・点$\mathrm{S}$の軌跡が半径$a+b$の円になるためには，${\omega }_2$の値は${\omega }_1$の$\text{ナ}$倍，$\varphi$の値は$\text{ニ}$であればよい．

・点$\mathrm{P}$が$1$周する間に点$\mathrm{S}$が必ず点$(f-a-b,0)$と点$(f+a-b,0)$の両方を通過するための必要十分条件は，${\omega }_2$と${\omega }_1$の間に自然数$k$を用いて表わされる${\omega }_2=\text{ヌ}$という関係が成り立ち，$\varphi$の値が$\text{ネ}$であることである．

・$t=0$において，点$\mathrm{S}$の位置は$(f+a-b,0)$であった．そこから点$\mathrm{P}$が$1$周したとき，すなわち$t=T_{\mathrm{P}}$において，点$\mathrm{S}$の位置は$(f+a+b,0)$であった．さらに点$\mathrm{P}$が$1$周したとき，すなわち$t=2T_{\mathrm{P}}$において，点$\mathrm{S}$の位置は$(f+a-b,0)$であった．このように点$\mathrm{P}$の周回ごとに点$\mathrm{S}$の位置が$(f+a-b,0)$と$(f+a+b,0)$を交互にとるための必要十分条件は，${\omega }_2$と${\omega }_1$の間に自然数$k$を用いて表わされる${\omega }_2=\text{ノ}$という関係が成り立ち，$\varphi$の値が$\text{ハ}$であることである．

　点$\mathrm{F}\text{，}$点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{S}$の$3$点が一直線上に並び，かつ点$\mathrm{F}$と点$\mathrm{P}$の間に点$\mathrm{S}$がある状態を「蝕(しょく)」と呼ぶことにする．$z$を$2$以上の自然数とする．

・${\omega }_2=z{\omega }_1$の関係があるとき，点$\mathrm{P}$が円$C_1$上を$1$周する間に触が起こる回数は$\text{ヒ}$回である．

・${\omega }_2=-z{\omega }_1$の関係があるとき，点$\mathrm{P}$が円$C_1$上を$1$周する間に蝕が起こる回数は$\text{フ}$回である．

【４】　数列$\{a_n\}$を$a_1={\displaystyle \frac{q}{q-p}}(1+q-p)\text{，}$$a_{n+1}=p{a}_n+q^n$と定義する．ここで，$n\text{，}$$p\text{，}$$q$は自然数で，$p\ne q$である．次の問いに答えなさい．

(1)　$a_n$を求めなさい．

(2)　すべての$n$で${\displaystyle \frac{a_n}{q^n}}\geqq 1$を満たすような$p$と$q$の関係を求めなさい．

(3)　(2)の条件が満たされているとき，${\displaystyle \frac{a_n}{q^n}}$が取り得る最大の値を求めなさい．

(4)　$q=10$かつ(2)の条件が満たされているとき，$a_n<{10}^4$を満たす最大の$n$を求めなさい．