2022　西南学院大学　神,法,外国語学部MathJax

【１】

1.　$1$から$100$までの自然数に対して，$A=\{x|x\text{は}3\text{の倍数}\}\text{，}$$B=\{x|x\text{は}5\text{の倍数}\}$を考える．次の個数を求めよ．

　ただし，$n(X)$は集合$X$の要素の個数を表し，集合$\bar{X}$は集合$X$の補集合を表すものとする．

(1)　$n(A\cap \bar{B})=\text{アイ}$　　(2)　$n(\bar{A}\cap \bar{B})-n(A\cap B)=\text{ウエ}$

【１】

2.　点$(2,2)$を通り，直線$y=-2$に接する円$C$について，中心の軌跡は$y={\displaystyle \frac{1}{\text{オ}}}{(x-\text{カ})}^2+\text{キ}$となり，円$C$の半径の最小値は$\text{ク}$となる．

【１】

3.　$7$で割ると$5$余り，$5$で割ると$3$余るような$2$桁の整数のうち，最大のものは$\text{ケコ}$である．

【１】

4.　$(a^2-ab+9)+(a^2-3a+3b)i=0$を満たす実数$a\text{，}$$b$の組は，$(a,b)=(\text{サシ},\text{スセ})$である．ただし，$i^2=-1$とする．

【２】

1.　$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+2n$によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

(1)　$a_{n+1}-a_n=b_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項は，

$b_n=\text{ソ}\cdot {\text{タ}}^n-\text{チ}$

である．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項は，

$a_n=\text{ツ}\cdot {\text{テ}}^n-\text{ト}n-\text{ナ}$

である．

【２】

2.　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$のとき，関数$y=2\sqrt{3}\sin \theta -6\cos \theta -\sqrt{3}\sin 2\theta +\cos 2\theta$について，次の問に答えよ．

(1)　$\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta =t$とおくとき，$t$のとりうる値の範囲は$\text{ニ}\sqrt{\text{ヌ}}\leqq t\leqq \text{ネ}$である．

(2)　$y$を(1)の$t$で表すと，$y=\text{ノ}{t}^2+\text{ハ}\sqrt{\text{ヒ}}t-\text{フ}$となる．

(3)　$y$の最小値は$\text{へホ}$である．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$とその内部に点$\mathrm{P}$があって，$3\overrightarrow{\mathrm{PA}}+k\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$$\text{（}k>0\text{）}$が成り立っている．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．

(2)　直線$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{AD}$および$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．

(3)　$k=2$のとき，面積比$\mathrm{▵PAB}:\mathrm{▵PBC}:\mathrm{▵PCA}$を求めよ．