2022　西南学院大学　経済,国際文化学部MathJax

【１】

1.　$x\text{，}$$y$についての連立方程式

$\{\begin{array}{l}ax+(a-3)y\mathrm{=}0\\ 2x+(1-a)y=0\end{array}$

が，無数の解をもつならば，$a=\text{アイ}$または$a=\text{ウ}$である．

【１】

2.　$i$を虚数単位とする．$z=3i$のとき，${(z-1)}^3-{(z+1)}^3$の値は，$\text{エオ}$となる．また，$z={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5i}}{2}}$のとき，$8z^3-20z^2+25z-15$の値は，${\displaystyle \frac{\text{カ}-\sqrt{\text{キ}}i}{\text{ク}}}$となる．

【１】

3.　整式$Q(x)$を${(x+3)}^2$で割ると$3x+1$余り，${(x+1)}^2$で割ると$10x+6$余る．このとき$Q(x)$を$(x+3)(x+1)$で割った余りは，$\text{ケ}x-\text{コ}$である．

【１】

4.　$\overrightarrow{a}=(3,-1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2,1)$と実数$t$に対して，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$は$t=\text{サシ}$のとき最小値$\sqrt{\text{ス}}$をとる．

【２】

1.　$2$つの異なる円

$x^2+y^2+8x+2ky+6=0\text{，}$$x^2+y^2-4(x-y)+6(kx+k-1)=0$

の$2$つの交点を結ぶ直線の方程式は，$\text{セ}x-\text{ソ}y+\text{タ}=0$となる．

　また，$k=\text{チツ}$のとき，$2$つの交点を結ぶ線分の長さが$2$となる．

【２】

2.　実数$x\text{，}$$y$が$4$つの不等式

$2x+3y\leqq 15\text{，}$$2x+y\leqq 10\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$\mathrm{y\geqq }0$

を満たすとき，$x+3y$は$(x,y)=(\text{テ},\text{ト})$のとき，最大値$\text{ナニ}$をとり，$(x,y)=(\text{ヌ},\text{ネ})$のとき，最小値$\text{ノ}$をとる．

【３】　$a$を実数の定数として，$2$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を，

$f(x)=x^3-12x+20\text{，}$$g(x)=-x^2-7x+a$

とする．

(1)　$x\geqq -4$を満たすすべての実数$x$に対して，$f(x)\geqq g(x)$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$s\text{，}$$t\geqq -4$を満たすすべての実数$s\text{，}$$t$に対して，$f(s)\geqq g(t)$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．