2022　西南学院大学　全学部MathJax

【１】

1.　$2$次方程式$x^2-2kx+k^2-3k-10=0$について考える．

　$k>\text{ア}$のとき，$2$つの異なる解がともに正の実数となる．

　また，$-{\displaystyle \frac{\text{イウ}}{\text{エ}}}<k<\text{オカ}$のとき，$2$つの異なる解がともに負の実数となる．

【１】

2.　$2x^3-5x^2+6x-1$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは，$\text{キ}x+\text{ク}$となる．${(2x^3-5x^2+6x-1)}^3$を$x^2-x+1$で割った余りは，$\text{ケコ}x+\text{サ}$となる．

【１】

3.　実数$k$を定数とする．$x$と$y$に関する連立方程式

$\{\begin{array}{l}{2}^{x+1}+3^y=2\\ k\cdot 2^x-3^y=3k-1\end{array}$

の解が存在するような$k$の値の範囲は${\displaystyle \frac{\text{シス}}{\text{セ}}}<k<{\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}$である．

【１】

4.　$1$年間あたりの利息が$5\mathrm{\%}$で複利で増える預金がある．すなわち年の初めの元金$1$万円は$1$年後には$1\times (1+0.05)$万円，$2$年後には$1\times {(1+0.05)}^2$万円となる．この預金で元利合計が初めて元金の$2$倍を超えるのは$\text{チツ}$年後である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}5=0.6990\text{，}$${\log }_{10}7=0.8451$として計算せよ，

【２】

1.　円$x^2+y^2+4ax-2ay+6a^2-3a+2=0$について，以下の問に答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)　$a$の値の範囲は$\text{テ}<a<\text{ト}$となる．

(2)　円の半径の最大値は${\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}$となる．そのとき円の中心と直線$3x-4y+2=0$の距離は${\displaystyle \frac{\text{ヌネ}}{\text{ノ}}}$となる．

【２】

2.　下の文中の$\text{ハ}\text{〜}$$\text{ヘ}$にあてはまる言葉を次の1〜4の中から選べ．

1　必要十分条件である．

2　必要条件であるが，十分条件ではない．

3　十分条件であるが，必要条件ではない．

4　必要条件でも十分条件でもない．

(1)　実数$x$について$x^2=1$は，$x^4=1$であるための$\text{ハ}$

(2)　複素数$x$について$x^2=1$は，$x^4=1$であるための$\text{ヒ}$

(3)　四角形において，対角線が直交することは，ひし形であるための$\text{フ}$

(4)　整数$m\text{，}$$n$について，$4m-n$が$3$の倍数であることは，$m-n$が$3$の倍数であるための$\text{ト}$

【３】　関数$f(x)=-4x^3+12x+16$とし，$y=f(x)$を曲線$C$とする．$a>0$とし，$C$上の点$(a,f(a))$における接線を$l$とする．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求め，$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を$a$で表せ．

(3)　曲線$C$と接線$l$とで囲まれた図形を$y$軸で$2$つの部分に分けて，$x\geqq 0$である部分の面積を$S_1$とし，$x\leqq 0$である部分の面積を$S_2$とする．$S_1$を$a$で表せ．また，$S_2$は，$S_1$の何倍になるか求めよ．