2022　福岡大学　系統別日程文系2月2日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}}$のとき，$a^3-{\displaystyle \frac{1}{a^3}}=\text{(1)}$である．また，$|x-2|+(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})(x-3)=0$の解は，$x=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$2$直線$y=2x-5\text{，}$$y={\displaystyle \frac{x}{4}}+1$のなす角を$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，$\tan \theta =\text{(3)}$であり，また，$\sin 2\theta +\cos 2\theta =\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が続けて試合を行い，先に$2$勝した方を優勝とする．各試合で$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$で引き分けはないものとする．$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\text{(5)}$である．また，$\mathrm{A}$が優勝したという条件のもとで，$2$回目に$\mathrm{B}$が勝つ確率を求めると$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　連立方程式$\{\begin{array}{l}{2}^y=5^x\\ y=x^2-x\end{array}$の解$(x,y)=(a,a^2-a)$$\text{（}a\ne 0\text{）}$を求めると，$a$の値は${\log }_{10}2$を用いて，$a=\text{(1)}$と表せる．また，$x$の方程式${(2^x)}^{x-1}=2^b\cdot 5^x$がただ$1$つの解をもつとき，$b$の値を${\log }_{10}2$を用いて表すと$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$3$つの数$x+3\text{，}$$-2x-3\text{，}$$3x-9$がこの順で等比数列となるとき，$x=\text{(3)}$である．また，初項$17\text{，}$公差$-3$の等差数列において，初項から第$n$項までの和$S_n$が最大になるのは$n=\text{(4)}$のときである．

【３】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3-x^2+3x$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　直線$y=ax$$\text{（}a\ne 3\text{）}$が曲線$C$の接線であるとき，$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と(ⅰ)で求めた直線で囲まれた部分の面積を求めよ．