2022　福岡大学　前期工学部2月6日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　実数$a\text{，}$$b$が$a-b=2\text{，}$$a^2+b^2=12$をみたすとき，$ab=\text{(1)}$であり，$a^5-b^5=\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　さいころを$3$回投げるとき，出る目の積が偶数となる確率は$\text{(3)}$であり，出る目の和が$11$である確率は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　円$x^2+y^2=4$と直線$3y-2x+4=0$の$2$つの共有点と点$(1,-1)$の$3$点を通る円の中心の座標は$\text{(5)}$である．

　また，$x\text{，}$$y$が$4$つの不等式$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$y\leqq x+4\text{，}$$y\leqq -3x+12$を同時にみたすとき，$x+y$の最大値と最小値の和は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$i$を虚数単位とする．複素数$z=(1+i)(\sqrt{3}-i)$を極形式で$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$と表すとき，$(r,\theta )=\text{(1)}$である．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

　また，$w^2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}i$をみたす複素数$w$は，$w=\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{CD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{OE}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面との交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\text{(3)}$である．また，$\mathrm{AF}:\mathrm{FG}=\text{(4)}$である．

【３】　$2$つの関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{x+3}{2x+1}}$$(x>-{\displaystyle \frac{1}{2}})$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　不等式$f(x)>g(x)$をみたす$x$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．