2022　防衛医科大学校　医学科MathJax

【１】　$\mathrm{\angle CAB}={\displaystyle \frac{\pi }{10}}\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}=4$となる点$\mathrm{D}$があるとする．このとき，$\mathrm{BD}$の長さは$\text{1}$である．また．$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を$r\text{，}$$\mathrm{BC}$の長さを$a$とするとき，$a$と$r$の値の積は$\text{2}$となる．

$\text{1}$の選択肢

$\text{(1) }2$$\text{(2) }1+\sqrt{2}$$\text{(3) }1+\sqrt{3}$$\text{(4) }3$$\text{(5) }1+\sqrt{5}$

$\text{2}$の選択肢

$\text{(1) }4$$\text{(2) }4\sqrt{2}$$\text{(3) }4\sqrt{3}$$\text{(4) }8$$\text{(5) }4\sqrt{5}$

【２】　$2$次方程式$x^2+ax+b=0$$\text{（}a\text{，}$$b$は実数の定数）の異なる$2$解$\alpha \text{，}$$\beta$が，ある実数の定数$c$を用いて

$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{c-1}+\sqrt{c+8}}{\sqrt{c-1}-\sqrt{c+2}}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{c-1}-\sqrt{c+8}}{\sqrt{c-1}+\sqrt{c+2}}}$

と表されるとする．$\alpha =-3$のとき，$a$の値は$\text{3}$であり，$c$の値は互いに素である自然数$m$と$n$を用いて${\displaystyle \frac{m}{n}}$と表すことができる．このとき，$m$と$n$の和は$\text{4}$となる．

$\text{3}$の選択肢

$\text{(1) }4$$\text{(2) }5$$\text{(3) }6$$\text{(4) }7$$\text{(5) }8$

$4$の選択肢

$\text{(1) }17$$\text{(2) }19$$\text{(3) }21$$\text{(4) }23$$\text{(5) }25$

【３】　実数$x$の関数$f_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}|x-k|$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$がある．関数$f_3(x)$の最小値は$\text{5}$である．また，ある奇数$m$に対し，$f_m(x)$の最小値が$30$であるとすると，このような$m$は$\text{6}$である．

$\text{5}$の選択肢

$\text{(1) }1$$\text{(2) }2$$\text{(3) }3$$\text{(4) }4$$\text{(5) }5$

$\text{6}$の選択肢

$\text{(1) }7$$\text{(2) }9$$\text{(3) }11$$\text{(4) }13$$\text{(5) }15$

【４】　複素数平面上で複素数$z$が方程式$\left|z\right|=1$を満たして動くとき，複素数$w={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-i}{z}}$が描く図形は$\text{7}$である．また，複素数$\alpha$$\text{（}\alpha \ne 0\text{），}$$\beta ={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$について，$\alpha$が$|\alpha -(2+i)|=2$を満たして動くとき，点$\alpha$が描く図形を$C_1\text{，}$点$\beta$が描く図形を$C_2$とする．$C_1\text{，}$$C_2$の図形の内部の共通部分の面積は$\text{8}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

$\text{7}$の選択肢

$\text{(1) 原点を中心とする半径}\sqrt{2}\text{の円}$

$\text{(2) 原点を中心とする半径}\sqrt{3}\text{の円}$

$\text{(3) 点}\sqrt{2}-i\text{を中心とする半径}1\text{の円}$

$\text{(4) 点}\sqrt{2}-i\text{を中心とする半径}\sqrt{2}\text{の円}$

$\text{(5) 点}\sqrt{2}-i\text{を中心とする半径}\sqrt{3}\text{の円}$

$\text{8}$の選択肢

$\text{(1) }{\displaystyle \frac{5}{3}}\pi -\sqrt{3}$$\text{(2) }{\displaystyle \frac{5}{3}}\pi -2\sqrt{3}$$\text{(3) }{\displaystyle \frac{8}{3}}\pi -\sqrt{3}$$\text{(4) }{\displaystyle \frac{8}{3}}\pi -2\sqrt{3}$$\text{(5) }{\displaystyle \frac{8}{3}}\pi -3\sqrt{3}$

【５】　四角形$\mathrm{ABCD}$は点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接し，$\mathrm{\angle A}$と$\mathrm{\angle C}\text{，}$$\mathrm{\angle B}$と$\mathrm{\angle D}$はそれぞれ対角であり，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}\text{，}$$24\overrightarrow{\mathrm{OA}}+7\overrightarrow{\mathrm{OB}}+25\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{0}$を満たしている．

　$\mathrm{\angle BAD}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle ABD}=\beta$とすると，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\text{9}}{\text{10}}}\text{，}$$\cos \beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{11}}}{\text{12}\text{13}}}$である．

　また，$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{CH}$の長さは${\displaystyle \frac{\text{14}\sqrt{\text{15}}}{\text{16}}}$である．

【６】　関数$f(x)=\cos (\log {\displaystyle \frac{1}{x^k}})$$\text{（}0<x\leqq 1\text{，}$$k$は自然数）について，$f(x)=0$を満たす$x$を大きい順に$a_0\text{，}$$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots$と表すものとする．$k=2$のとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=0}^n}{a}_i={\displaystyle \frac{e^{-\frac{\text{17}}{\text{18}}\pi }}{1-e^{-\frac{\text{19}}{\text{20}}\pi }}}$

である．また，$k=3$のとき，

${\displaystyle {\int }_{a_4}^{a_3}}f(x)\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{21}}{10}}{e}^{-\frac{\text{22}}{\text{23}}\pi }(1+e^{{\displaystyle \frac{\text{24}}{\text{25}}}\pi })$

である．ただし，$e$は自然対数の底である．

【７】　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんが$1$枚ずつコインを持ち，各時刻$t$$\text{（}t=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$にそれぞれが以下の試行を$1$回行う．

試行：コインを$1$枚投げ，表が出たら$2$点，裏が出たら$1$点を獲得する．

　少なくともどちらかの合計点が$8$点以上になったらその時刻で試行を終了し，その時刻におけるそれぞれの合計点をそれぞれの最終得点とする．最終得点が高い方を勝者とする．

　ただし，ある時刻でどちらかの合計点が初めて$4$点以上になり，そのときもう一方の合計点が$4$点未満だった場合，点数が低い方はその時刻で試行を終了し，その時刻までの合計点を最終得点とする．点数が高い方はそのまま試行を継続し，合計点が$8$点以上になった時刻に試行を終了し，その時刻までの合計点を最終得点とする．

(例１)　$\mathrm{A}$さんが時刻$1$で表，時刻$2$で裏，時刻$3$で表を出し，$\mathrm{B}$さんが時刻$1$で表，時刻$2$で裏，時刻$3$で裏を出した場合，$\mathrm{A}$さん$\mathrm{B}$さんともに時刻$3$で初めて$4$点以上になったので，両者とも試行を継続する．$\mathrm{A}$さんが時刻$4$で表，時刻$5$で表を出し，$\mathrm{B}$さんが時刻$\mathrm{4}$で裏，時刻$5$で裏を出した場合，時刻$5$で$\mathrm{A}$さんが初めて$8$点以上になったので両者試行を終了し，$\mathrm{A}$さんの最終得点は$9$点，$\mathrm{B}$さんの最終得点は$6$点となる．

(例２)　$\mathrm{A}$さんが時刻$1$で表，時刻$2$でも表を出し，$\mathrm{B}$さんが時刻$1$で表，時刻$2$で裏を出した場合，$\mathrm{A}$さんが初めて$4$点以上になった時刻$2$で，$\mathrm{B}$さんは$4$点未満なので，$\mathrm{B}$さんは試行を終了し，$\mathrm{B}$さんの最終得点は$3$点となる．$\mathrm{A}$さんはその後も試行を継続し，時刻$3$で表，時刻$4$で裏，時刻$5$で表を出した場合，時刻$5$で初めて$8$点以上になったので試行を終了し，$\mathrm{A}$さんの最終得点は$9$点となる．

　このとき，以下の問に答えよ．ただし，(1)から(4)の答えは分子が奇数，分母が$2$の累乗のままの分数で表せ．

(1)　$\mathrm{A}$さん$\mathrm{B}$さんそれぞれの合計得点が同時刻に初めて$4$点以上になる確率はいくらか．

(2)　$\mathrm{A}$さん$\mathrm{B}$さんそれぞれの合計得点が同時刻に初めて$4$点以上になり，その時刻で$\mathrm{A}$さんの合計得点が$5$点，$\mathrm{B}$さんの合計得点が$4$点である確率はいくらか．

(3)　$\mathrm{A}$さん$\mathrm{B}$さんそれぞれの合計得点が同時刻に両方ちょうど$4$点になり，$\mathrm{A}$さんの合計得点が初めて$8$点以上になった時刻に，$\mathrm{B}$さんの合計得点が$8$点未満である確率はいくらか．

(4)　$\mathrm{A}$さんの最終得点が$\mathrm{B}$さんの最終得点よりちょうど$2$点多くなる確率はいくらか．