2022　国立看護大学校　入学選抜試験MathJax

【１】(1)　${\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}}$の分母を有理化すると${\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\text{ア}+\sqrt{\text{イ}}}{\text{ウ}}}$であり，${\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}}$の小数部分は${\displaystyle \frac{1}{\text{エオ}+\sqrt{\text{カ}}+\sqrt{\text{キ}}}}$である． （ただし，$\text{カ}<\text{キ}$とする．）

【１】(2)　ある食堂ではテイクアウト用に弁当の販売を開始した．以下のデータは，販売を始めてから$8$日目までの弁当の販売個数をまとめたものである．

　この$8$日間の販売個数について，

中央値は$\text{クケ}.\text{コ}\text{，}$四分位偏差は$\text{サ}.\text{シ}$

平均値は$\text{スセ}\text{，}$分散は$\text{ソタ}.\text{チツ}$

である．

【２】　関数$f(x)=|x^2-4x-4|-2x$について考える．

(1)　方程式$x^2-4x-4=0$の解は$x=\text{ア}\pm \text{イ}\sqrt{\text{ウ}}$であり，$x\leqq \text{ア}-\text{イ}\sqrt{\text{ウ}}$または$\text{ア}+\text{イ}\sqrt{\text{ウ}}\leqq x$のとき，

$f(x)=x^2-\text{エ}x-\text{オ}$

　$\text{ア}-\text{イ}\sqrt{\text{ウ}}$$\leqq x$$\leqq \text{ア}+\text{イ}\sqrt{\text{ウ}}$のとき，

$f(x)=-x^2+\text{カ}x+\text{キ}$

である．

(2)　$f(x)$の最小値は$\text{クケ}-\text{コ}\sqrt{\text{サ}}$である．

(3)　方程式$f(x)=k$が異なる$3$個の実数解をもつとき，

$k=\text{シ}\text{，}$$\text{スセ}+\text{ソ}\sqrt{\text{タ}}$

である．また，$k=\text{シ}$のとき，$3$つの解は

$\text{チ}\text{，}$$\text{ツ}\pm \text{テ}\sqrt{\text{ト}}$

である．

【３】　一辺の長さが$3$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{Q}$を，それぞれ$\mathrm{AP}=2\text{，}$$\mathrm{CQ}={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるようにとる．また，$\mathrm{\angle POC}=\theta$とする．

(1)　$\mathrm{OP}=\sqrt{\text{ア}}\text{，}$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{イ}\sqrt{\text{ウ}}}{\text{エオ}}}$である．

(2)　$\mathrm{PQ}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{カキ}}}{\text{ク}}}$である．

　また，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$は$S={\displaystyle \frac{\text{ケ}\sqrt{\text{コサ}}}{\text{シ}}}$である．

(3)　正四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とすると，四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積は${\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}V$である．

【４】　右図のように，$5$本の平行な直線状の街路と$6$本の平行な直線状の街路が直交している．$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ最短距離で行くものとする．

(1)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$への経路の総数は$\text{アイウ}$通りある．また，図の×の位置が通行止めであるとき，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$への経路は$\text{エオカ}$通りある．

(2)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へのすべての経路から$1$つを選ぶとき，その経路が$\mathrm{P}$を通る確率は${\displaystyle \frac{\text{キク}}{\text{ケコ}}}$であり，$\mathrm{P}$を通りかつ$\mathrm{Q}$を通らない確率は${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シス}}}$である．ただし，どの経路を選ぶかは同様に確からしいものとする．

(3)　縦にも横にも進める分岐点において，その都度どちらに進むかを等確率で決め，進める方向が$1$つしかない場合にはその方向に進む．このとき，$\mathrm{P}$を通って$\mathrm{B}$に行く確率は${\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$であり，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の少なくとも一方を通って$\mathrm{B}$に行く確率は${\displaystyle \frac{\text{タチ}}{\text{ツテト}}}$である．

【５】(1)　$5040$の正の約数の個数は$\text{アイ}$である．

【５】(2)　正の約数をちょうど$11$個もつ正の整数のうち最小のものは$\text{ウエオカ}$である．また，正の約数をちょうど$12$個もつ正の整数のうち最小のものは$\text{キク}$である．

【５】(3)　$20!$の約数で$2^n$$\text{（}n$は正の整数）という形をしたもののうち最大のものは$2^{\text{ケコ}}$である．

　また，$20!$を計算すると一の位から$\text{サ}$個連続して$0$が並ぶ．

【６】　$\mathrm{▵ABC}$の頂点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通り，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$とそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$で交わる円を$\mathrm{O}$とし，線分$\mathrm{DC}$と線分$\mathrm{EB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．また，$\mathrm{AD}=4\text{，}$$\mathrm{AE}=5\text{，}$$\mathrm{EC}=3$である．

(1)　$\mathrm{BD}=\text{ア}$である．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{FC}}}=\text{イ}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FB}}}={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$である．

(3)　$\mathrm{BC}$が円$\mathrm{O}$の直径であるとき，$\mathrm{\angle BAC}=\text{オカ}\mathrm{°}$である．

(4)　(3)のとき，円$\mathrm{O}$の面積は$\text{キク}\pi$である．