2022　職業能力開発総合大学校　一般MathJax

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(1)　$1$個のさいころを$20$回続けて投げるとき，$1$の目が$20$回出る確率を$p$とすると，${\log }_{6}p=\text{(イ)}$である．このとき，$p$を小数で表すと，小数点第$\text{(ロ)}$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(2)　関数$f(x)=|x+3|+|2x-7|-|2x-1|$$\text{（}-4\leqq x\leqq 4\text{）}$は，$x=\text{(ハ)}$で最大値$\text{(ニ)}$をとり，$x=\text{(ホ)}$で最小値$\text{(ヘ)}$をとる．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(3)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <0$のとき，$4{\cos }^2\theta +2(\sqrt{3}-1)\cos \theta -\sqrt{3}=0$とする．このとき，$\cos \theta =\text{(ト)}\text{，}$$\sin \theta =\text{(チ)}$である．さらに，$\theta =\text{(リ)}$である．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(4)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(2i)\text{，}$$\mathrm{B}(2-2i)\text{，}$$\mathrm{C}(4+4i)$に対して，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円の中心を表す複素数の実部は$\text{(ヌ)}\text{，}$虚部は$\text{(ル)}$であり，円の半径は$\text{(ヲ)}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

　また，$x$を実数として，点$\mathrm{D}(x+2i)$が，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円の周上にあるとき，$x=\text{(ワ)}$または$x=\text{(カ)}$である．ただし，$\text{(ワ)}\text{，}$$\text{(カ)}$の解答の順序は問わない．

【２】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(1)　曲線$y=x^3-4x^2+3x-1$上の点$(0,-1)$における曲線の接線の傾きは$\text{(イ)}$であり，曲線と接線の共有点の$x$座標は，$0$と$\text{(ロ)}$である．そして，曲線と接線で囲まれた図形の面積は$\text{(ハ)}$である．

【２】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(2)　$\mathrm{O}$$(0,0,0)$を原点とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}$$(0,4,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,0,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(4,4,4)$に対して三角形$\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$(\text{(ニ)},\text{(ホ)},\text{(ヘ)})$である．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\text{(ト)}$であり，$\cos \mathrm{\angle AOG}=\text{(チ)}$となる．

　また，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\text{(リ)}\text{，}$四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\text{(ヌ)}$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{(ル)}$である．原点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下すと，垂線$\mathrm{OH}$の長さは，$\text{(ヲ)}$である．

【３】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

(1)　$2$つの集合

$\mathrm{A}=\{x|x=9n-1\text{，}n\text{は自然数，}x\leqq 100\}\text{，}$$B=\left|x\right|x=12n+5\text{，}n\text{は自然数，}x\leqq 100\}$

に対して以下の$\text{①}$$\text{②}$$\text{③}$に答えなさい．

$\text{①}$　集合$\mathrm{A}$のすべての要素の和を求めなさい．

$\text{②}$　集合$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$を，要素を書き並べて表しなさい．

$\text{③}$　集合$\mathrm{A}\cup \mathrm{B}$の要素の個数を求めなさい．

【３】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

(2)　当たりくじ$3$本を含む$10$本のくじがある．以下の$\text{①}$$\text{②}$に答えなさい．

$\text{①}$　この$10$本のくじの中から，引いたくじをもとに戻して，$1$本ずつ$3$回続けてくじを引く．このとき，少なくとも$1$回当たる確率を求めなさい．

$\text{②}$　この$10$本のくじの中から，引いたくじをもとに戻さずに，$1$本ずつ$3$回続けてくじを引く．このとき，少なくとも$1$回当たる確率を求めなさい．

【４】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も[解答欄]に記しなさい．

　関数$y={\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x$について以下の$\text{①}$$\text{②}$$\text{③}$に答えなさい．

$\text{①}$　$t=\sin x+\cos x$として，$y$を$t$の関数で表しなさい．

$\text{②}$　$t$のとりうる値の範囲を求めなさい．

$\text{①}$　$y$の最大値と最小値を求めなさい．