2022　航空保安大学校　学科問題MathJax

【１】　$\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{5}+3)(\sqrt{2}+\sqrt{5}-3)(3+\sqrt{2}-\sqrt{5})(3-\sqrt{2}+\sqrt{5})}$の値はいくらか．

$\text{1．}3$$\text{2．}3\sqrt{2}$$\text{3．}6$$\text{4．}6\sqrt{2}$$\text{5．}12$

【２】　$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，$y=-x^2$のグラフを平行移動した放物線であり，点$(2,-4)$を通り，$y$軸とは正の部分で交わる．また，この放物線の頂点は直線$y=-2x+3$上にある．このとき，$f(x)$の最大値はいくらか．

$\text{1．}-3$$\text{2．}-1$$\text{3．}1$$\text{4．}3$$\text{5．}5$

【３】　図のような$\mathrm{AB}=3\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{\angle B}=45\mathrm{°}$である$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径はいくらか．

$\text{1．}2$$\text{2．}\sqrt{5}$$\text{3．}2\sqrt{2}$$\text{4．}3$$\text{5．}2\sqrt{3}$

【４】　三つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，各箱の中には，赤球と白球が表に示す個数だけ入っている．

　三つの箱から一つの箱を無作為に選び，選んだ箱の中から無作為に$2$個の球を同時に取り出すことを考える．取り出した$2$個の球が共に白球であったとき，選んだ箱が$\mathrm{A}$である条件付き確率はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{7}{13}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{15}{23}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{5}{7}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{3}{4}}$

【５】　$m$を正の整数とするとき，${\displaystyle \frac{12m-24}{m-5}}$が$0$以上の整数となるような$m$はいくつあるか．

$\text{1．}9\text{個}$$\text{2．}11\text{個}$$\text{3．}14\text{個}$$\text{4．}16\text{個}$$\text{5．}18\text{個}$

【６】　図のように，線分$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{B}$を，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=3$となるようにとり，点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円が，点$\mathrm{A}$を通る直線$l$と点$\mathrm{D}$で接しているとする．このとき，線分$\mathrm{AD}$の長さはいくらか．

$\text{1．}\sqrt{6}$$\text{2．}2\sqrt{2}$$\text{3．}3$$\text{4．}\sqrt{10}$$\text{5．}2\sqrt{3}$

【７】　$2$次方程式$3x^2+2x-4=0$の二つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，${\displaystyle \frac{{\beta }^2}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{\beta }}$の値はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{10}{9}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{20}{9}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{10}{3}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{40}{9}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{20}{3}}$

【８】　直線$y=2x+3$が円${(x-3)}^2+{(y-4)}^2=8$によって切り取られてできる線分の長さはいくらか．

$\text{1．}2\sqrt{3}$$\text{2．}\sqrt{15}$$\text{3．}4$$\text{4．}2\sqrt{5}$$\text{5．}2\sqrt{6}$

【９】　関数$y={\log }_{\frac{1}{2}}(4x-2)$のグラフは，関数$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$のグラフを$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$b$だけ平行移動したものと一致する．このとき，$a\text{，}$$b$の値の組合せとして正しいのはどれか．

【10】　$3$次方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が異なる二つの正の解と一つの負の解をもつような定数$a$の値の範囲として正しいのはどれか．

$\text{1．}-27<a<0$$\text{2．}-27<a<5$$\text{3．}0<a<5$$\text{4．}a>0$$\text{5．}a<27$

【11】　${\displaystyle {\int }_{-4}^4}|x^2-4|\mathit{dx}$の値はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{32}{3}}$$\text{2．}16$$\text{3．}{\displaystyle \frac{64}{3}}$$\text{4．}24$$\text{5．}32$

【12】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n=n(n+4)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と表されるとき，$a_n{a}_{n+2}=2021$を満たす$n$の値はいくらか．

$\text{1．}20$$\text{2．}21$$\text{3．}22$$\text{4．}23$$\text{5．}24$

【13】　平面上の二つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,0)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2,1)$に対して，$|\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}|$を最小にする実数$t$の値はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{1}{5}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{2}{5}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{3}{5}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{4}{5}}$$\text{5．}1$