2022　海上保安大学校　記述問題MathJax

【１】　以下の設問に答えよ．

(1)　箱の中に赤玉が$4$個，白玉が$3$個入っている．箱の中から玉を$1$個ずつ$3$回続けて取り出すとき，次の$\text{①}\text{，}$$\text{②}$の確率を求めよ．ただし，一度取り出した玉は元に戻さないものとする．

$\text{①}$　白玉を$1$個も取り出さない確率

$\text{②}$　赤玉を$2$個以上取り出す確率

【１】　以下の設問に答えよ．

(2)　$2$進法で表された次の数の計算結果を$\mathbf{10}$進法の小数で表せ．

${101.011}_{(2)}+{11.001}_{(2)}$

【１】　以下の設問に答えよ．

(3)　次の方程式を解け．

${\log }_{10}(x-1)+{\log }_{10}(x-4)=1$

【１】　以下の設問に答えよ．

(4)　実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$に対し，次の不等式を証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

$|ac+bd|\leqq \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$

【２】　図のように，点$\mathrm{O}$で交わる$2$直線$l$と$m\text{，}$$l$上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$及び$m$上の$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$があり，

$\mathrm{OA}:\mathrm{AB}:\mathrm{BC}$$=2:1:3\text{，}$

$\mathrm{OD}:\mathrm{DE}:\mathrm{EF}$$=3:2:2$

である．また，直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{AF}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{BF}$と直線$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(3)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が一直線上にあることを示し，$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．

【３】　$a$を実数の定数とする．関数$f(x)=x^3-3x^2$と$g(x)={(x-a)}^2+f(a)$について，以下の設問に答えよ．

(1)　$f(x)$の増減と極値を調べよ．また，$y=f(x)$のグラフを描け．

(2)　$a=2$のとき，二つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の$x$座標を全て求めよ．

(3)　二つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の個数を，$a$の値によって場合分けをして求めよ．