2023　大学入学共通テスト　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$k$を定数として，$x$についての不等式

$\sqrt{5}x<k-x<2x+1$$\cdots \text{①}$

を考える．

(1)　不等式$k-x<2x+1$を解くと

$x>{\displaystyle \frac{k-\text{ア}}{\text{イ}}}$

であり，不等式$\sqrt{5}x<k-x$を解くと

$x<{\displaystyle \frac{\text{ウエ}+\sqrt{5}}{\text{オ}}}k$

である．

　よって，不等式$\text{①}$を満たす$x$が存在するような$k$の値の範囲は

$k<\text{カ}+\text{キ}\sqrt{5}$$\cdots \text{②}$

である．

(2)　$p\text{，}$$q$は$p<q$を満たす実数とする．$x$の値の範囲$p<x<q$に対し，$q-p$をその範囲の幅ということにする．

　$\text{②}$が成り立つとき，不等式$\text{①}$を満たす$x$の値の範囲の幅が${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$より大きくなるような$k$の値の範囲は

$k<\text{クケ}-\text{コ}\sqrt{5}$

である．

【１】

［２］　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{BC}=1$であるとする．$\sin \mathrm{\angle ABC}$と$\sin \mathrm{\angle ACB}$に関する条件が与えられたときの$\mathrm{▵ABC}$の辺，角，面積について考察する．

(1)　$\sin \mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}$であるとき，$\cos \mathrm{\angle ABC}=\pm {\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$である．

(2)　$\sin \mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}\text{，}$$\sin \mathrm{\angle ACB}={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{8}}$であるとする．

(ⅰ)　このとき，$\mathrm{AC}=\text{ス}\mathrm{AB}$である．

(ⅱ)　この条件を満たす三角形は二つあり，その中で面積が大きい方の$\mathrm{▵ABC}$においては，$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$である．

(3)　$\sin \mathrm{\angle ABC}=2\sin \mathrm{\angle ACB}$を満たす$\mathrm{▵ABC}$のうち，面積$S$が最大となるものを求めよう．

　$\sin \mathrm{\angle ABC}=2\sin \mathrm{\angle ACB}$と$\mathrm{BC}=1$により

$\cos \mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\text{タ}-\text{チ}{\mathrm{AB}}^2}{2\mathrm{AB}}}$

である．$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$について調べるために，$S^2$を考える．${\mathrm{AB}}^2=x$とおくと

$S^2=-{\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テト}}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}x-{\displaystyle \frac{1}{16}}$

と表すことができる．したがって，$S^2$が最大となるのは$x={\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}$のとき，すなわち$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ノ}}}{\text{ハ}}}$のときである．$S>0$より，このときに面積$S$も最大となる．

　また，面積$S$が最大となる$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle ABC}$は$\text{ヒ}$で，$\mathrm{\angle ACB}$は$\text{フ}$である．

　$\text{ヒ}\text{，}$$\text{フ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【２】

［１］　高校$1$年生の太郎さんと花子さんのクラスでは，文化祭でやきそば屋を出店することになった．二人は$1$皿あたりの価格をいくらにするかを検討するためにアンケート調査を行い，$1$皿あたりの価格と売り上げ数の関係について次の表のように予測した．

　この結果から太郎さんと花子さんは，$1$皿あたりの価格が$100$円以上$300$円以下の範囲で，予測される利益（以下，利益）の最大値について考えることにした．

　$2$次関数

$y=a{x}^2+bx+c$$\cdots \text{①}$

のグラフは，$3$点$(100,1250)\text{，}$$(200,450)\text{，}$$(300,50)$を通るとする．このとき，$b=\text{アイウ}$である．

　二人は，$1$皿あたりの価格$x$と売り上げ数$y$の関係が$\text{①}$を満たしたときの，$100\leqq x\leqq 300$での利益の最大値$M$について考えることにした．

　$1$皿あたりの材料費は$80$円であり，材料費以外にかかる費用は$5000$円である．よって，$x-80$と売り上げ数の積から，$5000$を引いたものが利益となる．

　このとき，売り上げ数を$\text{①}$の右辺の$2$次式とすると，利益は$x$の$\text{エ}$次式となる．一方で，売り上げ数として$\text{①}$の右辺の代わりに$x$の$\text{オ}$次式を使えば，利益は$x$の$2$次式となる．

　$1$次関数

$y=-4x+1160$$\cdots \text{②}$

を考える．このとき，$\text{①}$と$\text{②}$のグラフの位置関係は次の図２のようになっている．

　$\text{①}$の右辺の代わりに$\text{②}$の右辺を使うと，売り上げ数を少なく見積もることになる．売り上げ数を$\text{②}$の右辺としたときの利益$z$は

$z=-\text{カ}{x}^2+\text{キクケコ}x-97800$

で与えられる．$z$が最大となる$x$を$p$とおくと，$p=\text{サシス}$であり，$z$の最大値は$39100$である．

　$1$次関数

$y=-8x+1968$$\cdots \text{③}$

を考える．売り上げ数を$\text{③}$の右辺としたときの利益は$x=163$のときに最大となり，最大値は$50112$となる．

　また，$\text{①}\text{〜}$$\text{③}$のグラフの位置関係は次の図３のようになっている．

　売り上げ数を$\text{①}$の右辺としたときの利益の記述として，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうち，正しいものは$\text{セ}$と$\text{ソ}$である．

　$\text{セ}\text{，}$$\text{ソ}$の解答群（解答の順序は問わない．）

　$1$次関数

$y=-6x+1860$$\cdots \text{④}$

を考える．$100\leqq x\leqq 300$において，売り上げ数を$\text{④}$の右辺としたときの利益は$x=195$のときに最大となり，最大値は$74350$となる．

　また，$\text{①}\text{〜}$$\text{④}$のグラフの位置関係は次の図４のようになっている．

　売り上げ数を$\text{①}$の右辺としたときの利益の最大値$M$についての記述として，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうち，正しいものは$\text{タ}$である．

　$\text{タ}$の解答群

【２】

［２］　花子さんの通う学校では，生徒会会則の一部を変更することの賛否について生徒全員が投票をすることになった．投票結果に関心がある花子さんは，身近な人たちに尋ねて下調べをしてみようと思い，各回答が賛成ならば$1\text{，}$反対ならば$0$と表すことにした．このようにして作成される$n$人分のデータを$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$と表す．ただし，賛成と反対以外の回答はないものとする．

　例えば，$10$人について調べた結果が

$0\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$0\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$1$

であったならば，$x_1=0\text{，}$$x_2=1\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{10}=1$となる．この場合，データの値の総和は$8$であり，平均値は${\displaystyle \frac{4}{5}}$である．

(1)　データの値の総和$x_1+x_2+\cdots +x_n$は$\text{チ}$と一致し，平均値$\bar{x}={\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}$は$\text{ツ}$と一致する．

　$\text{チ}\text{，}$$\text{ツ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　花子さんは，$0$と$1$だけからなるデータの平均値と分散について考えてみることにした．

　$m=x_1+x_2+\cdots +x_n$とおくと，平均値は${\displaystyle \frac{m}{n}}$である．また，分散を$s^2$で表す．$s^2$は，$0$と$1$の個数に着目すると

$s^2={\displaystyle \frac{1}{n}}\{\text{テ}{(1-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^2$$+\text{ト}{(0-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^2\}$$=\text{ナ}$

と表すことができる．

　$\text{テ}\text{，}$$\text{ト}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ナ}$の解答群

【２】

［３］　変量$x\text{，}$$y$の値の組

$(-1,-1)\text{，}$$(-1,1)\text{，}$$(1,-1)\text{，}$$(1,1)$

をデータ$W$とする．データ$W$の$x$と$y$の相関係数は$0$である．データ$W$に，新たに$1$個の値の組を加えたときの相関係数について調べる．なお，必要に応じて，後に示す表１の計算表を用いて考えてもよい．

　$a$を実数とする．データ$W$に$(5a,5a)$を加えたデータを$W^{\prime }$とする．$W^{\prime }$の$x$の平均値$\bar{x}$は$\text{ニ}\text{，}$$W^{\prime }$の$x$と$y$の共分散$s_{xy}$は$\text{ヌ}$となる．ただし，$x$と$y$の共分散とは，$x$の偏差と$y$の偏差の積の平均値である．

　$W^{\prime }$の$x$と$y$の標準偏差を，それぞれ$s_x\text{，}$$s_y$とする．積$s_x{s}_y$は$\text{ネ}$となる．また相関係数が$0.95$以上となるための必要十分条件は$s_{xy}\geqq 0.95s_x{s}_y$である．これより，相関係数が$0.95$以上となるような$a$の値の範囲は$\text{ノ}$である．

　$\text{ニ}$の解答群

　$\text{ヌ}$の解答群

　$\text{ネ}$の解答群

　$\text{ノ}$の解答群

【３】(1)　$1$枚の硬貨を繰り返し投げるとき，この硬貨の表裏の出方に応じて，座標平面上の点$\mathrm{P}$が次の規則１に従って移動するものとする．

　また，点$\mathrm{P}$の座標を次の記号で表す．

　座標平面上の点$\mathrm{P}$の移動の仕方について，例えば，硬貨を$1$回投げて表が出た場合について考える．このとき，点$\mathrm{P}$の座標は$(1,1)$となる．これを図１のように，原点$\mathrm{O}$$(0,0)$と点$(1,1)$をまっすぐな矢印で結ぶ．このようにして点$\mathrm{P}$の移動の仕方を表す．

　以下において，図を使用する際には同じように考えることにする．

(ⅰ)　硬貨を$3$回投げ終えたとき，点$\mathrm{P}$の移動の仕方が条件

$y_1\geqq -1$かつ$y_2\geqq -1$かつ$y_3\geqq -1$$\cdots$(＊)

を満たす確率を求めよう．

　条件(＊)を満たす点$\mathrm{P}$の移動の仕方は図２のようになる．例えば点$\mathrm{O}$$(0,0)$から点$\mathrm{A}$$(2,0)$までの点$\mathrm{P}$の移動の仕方は，点$\mathrm{O}$$(0,0)$から点$(1,1)$まで移動したのち点$\mathrm{A}$$(2,0)$に移動する場合と，点$\mathrm{O}$$(0,0)$から点$(1,-1)$まで移動したのち点$\mathrm{A}$$(2,0)$に移動する場合のいずれかであるため，$2$通りある．このとき，この移動の仕方の総数である$2$を，四角囲みの中の数字で点$\mathrm{A}$$(2,0)$の近くに書く．図２における他の四角囲みの中の数字についても同様に考える．

　このように考えると，条件(＊)を満たす点$\mathrm{P}$の移動の仕方のうち，点$(3,3)$に至る移動の仕方は$\text{ア}$通りあり，点$(3,1)$に至る移動の仕方は$\text{イ}$通りあり，点$(3,-1)$に至る移動の仕方は$\text{ウ}$通りある．

　よって，点$\mathrm{P}$の移動の仕方が条件(＊)を満たすような硬貨の表裏の出方の総数は

$\text{ア}$$+\text{イ}$$+\text{ウ}$

である．

したがって，点$\mathrm{P}$の移動の仕方が条件(＊)を満たす確率は

${\displaystyle \frac{\text{ア}+\text{イ}+\text{ウ}}{2^3}}$

として求めることができる．

(ⅱ)　硬貨を$4$回投げるとする．このとき，(ⅰ)と同様に図を用いて考えよう．$y_1\geqq 0$かつ$y_2\geqq 0$かつ$y_3\geqq 0$かつ$y_4\geqq 0$である確率は${\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$となる．また，$y_1\geqq 0$かつ$y_2\geqq 0$かつ$y_3=1$かつ$y_4\geqq 0$である確率は${\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$となる．さらに，$y_1\geqq 0$かつ$y_2\geqq 0$かつ$y_3\geqq 0$かつ$y_4\geqq 0$であったとき，$y_3=1$である条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$となる．

(ⅲ)　硬貨を$4$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$の座標が$(4,2)$であるとき，点$(4,2)$に至る移動の仕方によらず表の出る回数は$\text{コ}$回となり，裏の出る回数は$(4-\text{コ})$回となる．

(2)　$1$個のさいころを繰り返し投げるとき，このさいころの目の出方に応じて，数直線上の点$\mathrm{Q}$が次の規則２に従って移動するものとする．

(ⅰ)　さいころを$7$回投げ終えた時点で点$\mathrm{Q}$の座標が$3$である確率は${\displaystyle \frac{\text{サシ}}{\text{スセソ}}}$となる．

(ⅱ)　さいころを$7$回投げる間，点$\mathrm{Q}$の座標がつねに$0$以上$3$以下であり，かつ$7$回投げ終えた時点で点$\mathrm{Q}$の座標が$3$である確率は${\displaystyle \frac{\text{タチ}}{\text{ツテトナ}}}$となる．

(ⅲ)　さいころを$7$回投げる間，点$\mathrm{Q}$の座標がつねに$0$以上$3$以下であり，かつ$7$回投げ終えた時点で点$\mathrm{Q}$の座標が$3$であったとき，$3$回投げ終えた時点で点$\mathrm{Q}$の座標が$1$である条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}$となる．

【４】　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$についての二つの式をともに満たす整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が存在するかどうかを考えてみよう．

(1)　二つの式が

$7x+13y+17z=8$$\cdots \text{①}$

と

$35x+39y+34z=37$$\cdots \text{②}$

の場合を考える．$\text{①}\text{，}$$\text{②}$から$x$を消去すると

$\text{アイ}y+\text{ウエ}z=3$$\cdots \text{③}$

を得る．$\text{③}$を$y\text{，}$$z$についての不定方程式とみると，その整数解のうち，$y$が正の整数で最小になるのは

$y=\text{オ}\text{，}$$z=\text{カキ}$

である．よって，$\text{③}$のすべての整数解は，$k$を整数として

$y=\text{オ}-\text{クケ}k\text{，}$$z=\text{カキ}+\text{コサ}k$

と表される．これらを$\text{①}$に代入して$x$を求めると

$x=31k-3+{\displaystyle \frac{\text{シ}k+2}{7}}$

となるので，$x$が整数になるのは，$k$を$7$で割ったときの余りが$\text{ス}$のときである．

　以上のことから，この場合は，二つの式をともに満たす整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が存在することがわかる．

(2)　$a$を整数とする．二つの式が

$2x+5y+7z=a$$\cdots \text{④}$

と

$3x+25y+21z=-1$$\cdots \text{⑤}$

の場合を考える．$\text{⑤}-\text{④}$から

$x=-20y-14z-1-a$$\cdots \text{⑥}$

を得る．また，$\text{⑤}\times 2-\text{④}\times 3$から

$35y+21z=-2-3a$$\cdots \text{⑦}$

を得る．このとき

　$a$を$\text{セ}$で割ったときの余りが$\text{ソ}$である

ことは，$\text{⑦}$を満たす整数$y\text{，}$$z$が存在するための必要十分条件であることがわかる．そのときの整数$y\text{，}$$z$を$\text{⑥}$に代入すると，$x$も整数になる．また，そのときの$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は$\text{④}$と$\text{⑤}$をともに満たす．

　以上のことから，この場合は，$a$の値によって，二つの式をともに満たす整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が存在する場合と存在しない場合があることがわかる．

(3)　$b$を整数とする．二つの式が

$x+2y+bz=1$$\cdots \text{⑧}$

と

$5x+6y+3z=5+b$$\cdots \text{⑨}$

の場合を考える．$\text{⑨}-\text{⑧}\times 5$から

$-4y+(3-5b)z=b$$\cdots \text{⑩}$

を得る．$\text{⑩}$の左辺の$y$の係数に着目することにより

　$b$を$4$で割ったときの余りが$\text{タ}$または$\text{チ}$である

ことは，$\text{⑩}$を満たす整数$y\text{，}$$z$が存在するための必要十分条件であることがわかる．ただし，$\text{タ}<\text{チ}$とする．

　そのときの整数$y\text{，}$$z$を$\text{⑧}$に代入すると，$x$も整数になる．また，そのときの$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は$\text{⑧}$と$\text{⑨}$をともに満たす．

　以上のことから，この場合も，$b$の値によって，二つの式をともに満たす整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が存在する場合と存在しない場合があることがわかる．

(4)　$c$を整数とする．二つの式が

$x+3y+5z=1$$\cdots \text{⑪}$

と

$cx+3(c+5)y+10z=3$$\cdots \text{⑫}$

の場合を考える．これまでと同様に，$y\text{，}$$z$についての不定方程式を考察することにより

$c$を$\text{ツテ}$で割ったときの余りが$\text{ト}$または$\text{ナニ}$である

ことは，$\text{⑪}$と$\text{⑫}$をともに満たす整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が存在するための必要十分条件であることがわかる．

【５】　$\mathrm{▵ABC}$において辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AC}$上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれとも異なる点$\mathrm{Q}$をとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$との交点を$\mathrm{R}$とし，直線$\mathrm{AR}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{S}$とする．

　以下の問題において比を解答する場合は，最も簡単な整数の比で答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点とする．このとき，点$\mathrm{S}$は辺$\mathrm{BC}$を$\text{ア}:\text{イ}$に内分する点である．

　$\mathrm{AB}=5$とし，$\mathrm{▵ABC}$の内接円が辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$とそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$で接しているとする．$\mathrm{AQ}=\text{ウ}$であることに注意すると，$\mathrm{BC}=\text{エ}$であり，$\text{オ}$であることがわかる．

　$\text{オ}$の解答群

(2)　$\mathrm{▵BPR}$と$\mathrm{▵CQR}$の面積比について考察する．

(ⅰ)　点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分する点とする．このとき，点$\mathrm{R}$は，線分$\mathrm{BQ}$を$\text{カキ}:\text{ク}$に内分し，線分$\mathrm{CP}$を$\text{ケコ}:\text{サ}$に内分する．したがって

${\displaystyle \frac{\mathrm{▵CQR}\text{の面積}}{\mathrm{▵BPR}\text{の面積}}}={\displaystyle \frac{\text{シス}}{\text{セ}}}$

である．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{\mathrm{▵CQR}\text{の面積}}{\mathrm{▵BPR}\text{の面積}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AC}$を$\text{ソ}:\text{タ}$に内分する点である．

【１】

［２］(1)　全体集合$U$を

$U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

とし，$U$の部分集合$A\text{，}$$B$を

$A=\{0,3,7,9\}\text{，}$$B=\{2,3,5,7,8\}$

とする．$U$の部分集合$X$に対して，$X$の補集合を$\bar{X}$で表す．

　このとき

$\bar{A}\cap \bar{B}=\{\text{サ},\text{シ},\text{ス}\}$

である．ただし，$\text{サ}<\text{シ}<\text{ス}$とする．

　$U$の部分集合$C$を

$C=\{1,4,5,7,8\}$

とする．このとき，集合$C$に$\bar{C}$の要素を一つ付け加えた，あるいは，集合$C$から$C$の要素を一つ取り除いた集合を$D$とする．

・$\bar{A}\cap \bar{B}\subset D$であるとき，$D$は，$\text{セ}$集合である．

・$D\cap B\subset \bar{A}\cap B$であるとき，$D$は，$\text{ソ}$集合である．

　$\text{セ}\text{，}$$\text{ソ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　$x\text{，}$$y$は$x>0\text{，}$$y>0$を満たす実数とする．このとき，次のことが成り立つ．

・$\text{「}x+y<1\text{」}$は，$\text{「}x<1$かつ$y<1\text{」}$であるための$\text{タ}\text{．}$

・$\text{「}(x+y)xy<2\text{」}$は，$\text{「}x<1$かつ$y<1\text{」}$であるための$\text{チ}\text{．}$

　$\text{タ}\text{，}$$\text{チ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【２】

［１］　$3$辺の長さが$a\text{，}$$b\text{，}$$c$である三角形が存在するための条件は，三つの不等式$a<b+c\text{，}$$b<c+a\text{，}$$c<a+b$が同時に成り立つことである．

　このことから，$3$辺の長さが$3x\text{，}$$x+6\text{，}$$30-2x$である三角形が存在するための$x$のとり得る値の範囲は，$\text{ア}<x<\text{イ}$であることがわかる．この三角形が二等辺三角形になるのは，$x=\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$のときである．ただし，$\text{ウ}<\text{エ}$とする．

　$x=\text{エ}$のとき，この二等辺三角形は$\text{オ}$である．また，$x=\text{ウ}$のとき，この二等辺三角形は$\text{カ}$であり，その外接円の半径は${\displaystyle \frac{\text{キク}\sqrt{\text{ケ}}}{\text{コ}}}$である．

　$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【３】

［１］

(1)(ⅰ)　$a\text{，}$$b$を実数とする．$2$次不等式

$x^2+ax+b>0$$\cdots \text{①}$

の解がすべての実数となるための必要十分条件を，次の二つの方針で考えよう．

　$y=x^2+ax+b$の最小値は${\displaystyle \frac{\text{アイ}}{\text{ウ}}}{a}^{\text{エ}}+b$である．よって，$\text{①}$の解がすべての実数となるための必要十分条件は

${\displaystyle \frac{\text{アイ}}{\text{ウ}}}{a}^{\text{エ}}+b\text{オ}0$

である．

　$x^2+ax+b=0$に解の公式を適用すると，$x={\displaystyle \frac{-a\pm \sqrt{a^{\text{カ}}-\text{キ}b}}{2}}$となる．よって，$\text{①}$の解がすべての実数となるための必要十分条件は

$a^{\text{カ}}-\text{キ}b\text{ク}0$

である．

　$\text{オ}\text{，}$$\text{ク}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(ⅱ)　$c$を実数とする．$2$次不等式$-x^2+cx-4<0$の解がすべての実数となるための必要十分条件は

$\text{ケコ}<c<\text{サ}$

である．

(2)(ⅰ)　$x=1$は$2$次不等式$2024x^2+2023x-2022>0$を$\text{シ}\text{．}$

　また，$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$はこの$2$次不等式を$\text{ス}\text{．}$

　$\text{シ}\text{，}$$\text{ス}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(ⅱ)　$x=-2\text{，}$$-{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$-1\text{，}$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$0\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$1\text{，}$${\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$2$のうち，$2$次不等式$2024x^2+2023x-2022>0$を満たすものは$\text{セ}$個ある．

【４】

［１］　花子さんの通う学校では，生徒会会則の一部を変更することの賛否について生徒全員が投票をすることになった．投票結果に関心がある花子さんは，身近な人たちに尋ねて下調べをしてみようと思い，各回答が賛成ならば$1\text{，}$反対ならば$0$と表すことにした．このようにして作成される$n$人分のデータを$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$と表す．ただし，賛成と反対以外の回答はないものとする．

　例えば，$10$人について調べた結果が

$0\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$0\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$1$

であったならば，$x_1=0\text{，}$$x_2=1\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_{10}=1$となる．この場合，データの値の総和は$8$であり，平均値は${\displaystyle \frac{4}{5}}$である．

(1)　データの値の総和$x_1+x_2+\cdots +x_n$は$\text{ア}$と一致し，平均値$\bar{x}={\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}$は$\text{イ}$と一致する．

　$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　花子さんは，$0$と$1$だけからなるデータの平均値と分散について考えてみることにした．

　$m=x_1+x_2+\cdots +x_n$とおくと，平均値は${\displaystyle \frac{m}{n}}$である．また，分散を$s^2$で表す．

(ⅰ)　$s^2$は，$0$と$1$の個数に着目すると

$s^2={\displaystyle \frac{1}{n}}\{\text{ウ}{(1-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^2$$+\text{エ}{(0-{\displaystyle \frac{m}{n}})}^2\}$$=\text{オ}$

と表すことができる．

　$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{オ}$の解答群

(ⅱ)　$n=25$とする．$m$の値によって分散$s^2$の値がどのように変わるかを調べる．$s^2$が最小となるのは，$m$の値が$\text{カ}$のときのみである．また，$s^2$が最大となるのは，$m$の値が$\text{キ}$のときのみである．

　$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【４】

［２］　変量$x\text{，}$$y$の相関係数について考える．

(1)　変量$x\text{，}$$y$の値の組

$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$(x_{25},y_{25})$

をデータ$Z$とする．図１は$Z$の散布図であり，$Z$から図１の点$\mathrm{A}$の表す値の組を除いた$24$個の値の組からなるデータを$Z^{\prime }$とする．図２は$Z^{\prime }$の散布図である．

　データ$Z$の$x$と$y$の相関係数を計算すると$0.8$となる．データ$Z^{\prime }$の$x$と$y$の相関係数はおよそ$\text{ク}$である．

　$\text{ク}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

(2)　変量$x\text{，}$$y$の値の組

$(-1,-1)\text{，}$$(-1,1)\text{，}$$(1,-1)\text{，}$$(1,1)$

をデータ$W$とする．データ$W$の$x$と$y$の相関係数は$0$である．データ$W$に，新たに$1$個の値の組を加えたときの相関係数について調べる．なお，必要に応じて，後に示す表１の計算表を用いて考えてもよい．

　$a$を実数とする．データ$W$に$(5a,5a)$を加えたデータを$W^{\prime }$とする．$W^{\prime }$の$x$の平均値$\bar{x}$は$\text{ケ}\text{，}$$W^{\prime }$の$x$と$y$の共分散$s_{xy}$は$\text{コ}$となる．ただし，$x$と$y$の共分散とは，$x$の偏差と$y$の偏差の積の平均値である．

　$W^{\prime }$の$x$と$y$の標準偏差を，それぞれ$s_x\text{，}$$s_y$とする．積$s_x{s}_y$は$\text{サ}$となる．また相関係数が$0.95$以上となるための必要十分条件は$s_{xy}\geqq 0.95s_x{s}_y$である．これより，相関係数が$0.95$以上となるような$a$の値の範囲は$\text{シ}$である．

　$\text{ケ}$の解答群

　$\text{コ}$の解答群

　$\text{サ}$の解答群

　$\text{シ}$の解答群