2023　北海道大学　前期MathJax

【１】　複素数平面上における図形$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$C_n\text{，}\cdots$は次の条件(A)と(B)をみたすとする．ただし，$i$は虚数単位とする．

(A)　$C_1$は原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円である．

(B)　自然数$n$に対して，$z$が$C_n$上を動くとき$2w=z+1+i$で定まる$w$の描く図形が$C_{n+1}$である．

(1)　すべての自然数$n$に対して，$C_n$は円であることを示し，その中心を表す複素数${\alpha }_n$と半径$r_n$を求めよ．

(2)　$C$上の点と$\mathrm{O}$との距離の最小値を$d_n$とする．このとき，$d_n$を求めよ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n$を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(4,2,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-4,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,2,-1)$を通る平面を$\alpha$とおく．また，球面$S$は半径が$9$で，$S$と$\alpha$の交わりは$\mathrm{A}$を中心とし$\mathrm{B}$を通る円であるとする．ただし，$S$の中心$\mathrm{P}$の$z$座標は正とする．

(1)　線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　$S$と直線$\mathrm{OC}$は$2$点で交わる．その$2$点間の距離を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)　$k$を実数の定数とし，$f(x)=x{e}^{-x}$とおく．方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$を用いてもよい．

(2)　$xy{e}^{-(x+y)}=c$をみたす正の実数$x\text{，}$$y$の組がただ$1$つ存在するときの実数$c$の値を求めよ．

(3)　$xy{e}^{-(x+y)}={\displaystyle \frac{3}{e^4}}$をみたす正の実数$x\text{，}$$y$を考えるとき，$y$のとりうる値の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．$1$個のさいころを$n$回投げて出た目の数を順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$とし，

$K_n=|1-a_1|+|a_1-a_2|$$+\cdots +|a_{n-1}-a_n|+|a_n-6|$

とおく．また，$K_n$のとりうる値の最小値を$q_n$とする．

(1)　$K_3=5$となる確率を求めよ．

(2)　$q_n$を求めよ．また，$K_n=q_n$となるための$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$に関する必要十分条件を求めよ．

(3)　$n$を$4$以上の自然数とする．$L_n=K_n+|a_4-4|$とおき，$L_n$のとりうる値の最小値を$r_n$とする．$L_n=r_n$となる確率$p_n$を求めよ．

【５】　$a\text{，}$$b$を$a^2+b^2<1$をみたす正の実数とする．また，座標平面上で原点を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$C$の内部にある$2$点$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b)$を考える．$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して$C$上の点$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta )$を考え，$\mathrm{P}$における$C$の接線に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$とおく．

(1)　$f(\theta )=ab\cos 2\theta +a\sin \theta -b\cos \theta$とおく．方程式$f(\theta )=0$の解が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲に少なくとも$1$つ存在することを示せ．

(2)　$\mathrm{D}$の座標を$b\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{D}$が同一直線上にあるような$\theta$は少なくとも$1$つ存在することを示せ．また，このような$\theta$はただ$1$つであることを示せ．

【１】　$P(x)$を$x$についての整式とし，$P(x)P(-x)=P(x^2)$は$x$についての恒等式であるとする．

(1)　$P(0)=0$または$P(0)=1$であることを示せ．

(2)　$P(x)$が$x-1$で割り切れないならば，$P(x)-1$は$x+1$で割り切れることを示せ．

(3)　次数が$2$である$P(x)$をすべて求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$は辺の長さが$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=5\text{，}$$\mathrm{AB}=7$であるとする．また，$\mathrm{\angle AOB}$の$2$等分線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，頂点$\mathrm{B}$における外角の$2$等分線と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$の値を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とする．$1$個のさいころを$n$回投げて出た目の数を順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$とし，

$K_n=|1-a_1|+|a_1-a_2|$$+\cdots +|a_{n-1}-a_n|+|a_n-6|$

とおく．また，$K_n$のとりうる値の最小値を$q_n$とする．

(1)　$K_2=5$となる確率を求めよ．

(2)　$K_3=5$となる確率を求めよ．

(3)　$q_n$を求めよ．また，$K_n=q_n$となるための$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$に関する必要十分条件を求めよ．

【４】　$q$を実数とする．座標平面上に円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$と放物線$P\text{：}y=x^2+q$がある．

(1)　$C$と$P$に同じ点で接する傾き正の直線が存在するとき，$q$の値およびその接点の座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた$q$の値を$q_1\text{，}$接点の$y$座標を$y_1$とするとき，連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\geqq 1\\ y\geqq x^2+q_1\\ y\leqq y_1\end{array}$

の表す領域の面積を求めよ．