2023　北海道大学　後期MathJax

【１】　以下で$e$は自然対数の底である．必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x=e$を用いてもよい．

(1)　$t>0$のとき，$e$と${(1+{\displaystyle \frac{1}{t}})}^t$の大小を判定し，その結果が正しいことを示せ．

(2)　$t>0$のとき，$e^{1-{\displaystyle \frac{1}{2t}}}$と${(1+{\displaystyle \frac{1}{t}})}^t$の大小を判定し，その結果が正しいことを示せ．

【２】　座標平面上にある放物線$y=x^2$を$C$とし，$C$上の$2$点$\mathrm{A}$$(\alpha ,{\alpha }^2)$と$\mathrm{B}$$(\beta ,{\beta }^2)$を考える．ただし，$\alpha <\beta$とする．$C$の$\mathrm{A}$における接線$l_1$と，$\mathrm{B}$における接線$l_2$との交点を$\mathrm{P}$とする．また，$\mathrm{A}$を通り$l_1$と直交する直線$m_1$と，$\mathrm{B}$を通り$l_2$と直交する直線$m_2$との交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る円の中心を点$\mathrm{S}$$(s,t)$とする．

(1)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　$s$と$t$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(3)　$\alpha \text{，}$$\beta$が$\alpha <\beta$かつ$s=0$をみたしながら動くとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$p$を$3$以上の素数とする．箱$\mathrm{S}$には$1$から$p$までの番号札が$1$枚ずつ計$p$枚入っており，箱$\mathrm{T}$には$1$から$4p$までの番号札が$1$枚ずつ計$4p$枚入っている．箱$\mathrm{S}$と箱$\mathrm{T}$から番号札を$1$枚ずつ取り出し，書かれている数をそれぞれ$X\text{，}$$Y$とする．

(1)　$X$と$Y$の積が$p$で割り切れる確率を求めよ．

(2)　$X$と$Y$の積が$2p$で割り切れる確率を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$は$\alpha >1$をみたす実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，不等式

$1-{\displaystyle \frac{1}{{(n+1)}^{\alpha -1}}}$$\leqq (\alpha -1){\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^{\alpha }}}$$\leqq \alpha -{\displaystyle \frac{1}{n^{\alpha -1}}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$3$以上の自然数$n$に対して，不等式

${\displaystyle \frac{3}{2}}-\log 3\leqq {\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}-\log n\leqq 1$

が成り立つことを示せ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．