2023　北海道教育大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$3$辺の長さが$t\text{，}$$t+1\text{，}$$t+2$である三角形が存在するような実数$t$の値の範囲を求めよ．

　以下では，(1)の三角形を$\mathrm{▵ABC}$とし，$\mathrm{BC}=t\text{，}$$\mathrm{CA}=t+1\text{，}$$\mathrm{AB}=t+2$とする．

(2)　$\cos \mathrm{\angle C}$を$t$を用いて表せ．

(3)　$\cos \mathrm{\angle C}$のとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　$\mathrm{\angle C}=120\mathrm{°}$となるような$t$の値と，そのときの$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

【２】　$x$についての$3$次関数$f(x)$が条件

$x{f}^{\prime }(x)=3f(x)+2x\text{，}$$f(1)=1$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　関数$g(x)={\displaystyle {\int }_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^x}f(t)\mathit{dt}$を求めよ．

(3)　(2)の$g(x)$について，方程式$g(x)=k$の異なる実数解の個数を，定数$k$の値により場合分けして答えよ．

【３】　$r>1$とし，$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=r\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=90\mathrm{°}$の直角三角形$\mathrm{OAB}$を考える．辺$\mathrm{OB}$上に$\mathrm{OM}=1$である点$\mathrm{M}$をとる．辺$\mathrm{OA}$を$s:1-s$$\text{（}0<s<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　一般に，$\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}\text{，}$$\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$のとき，

$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}⟺\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$

であることを証明せよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$r\text{，}$$s\text{，}$$t\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のうち必要なものを用いて表せ．

(3)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{MP}}\right|}^2$と${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2$を$r\text{，}$$s\text{，}$$t$のうち必要なものを用いて表せ．

(4)　$\mathrm{\angle MPQ}=90\mathrm{°}$のとき，$t$を$r\text{，}$$s$を用いて表せ．

(5)　$\mathrm{\angle MPQ}=90\mathrm{°}$とする．このとき，

${\displaystyle \frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{PQ}}}>1$

であることを示せ．さらに，$\mathrm{▵PQM}\backsim \mathrm{▵OAB}$となる場合に$s$を$r$を用いて表せ．