2023　小樽商科大学　前期MathJax

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は定数とする．関数$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx$が$f(-1)=f(1)$$=f(2)$$=f(3)=1$を満たしているとき，$f(4)$の値を求めると，$f(4)=\text{(a)}$である．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$a$は正の整数とする．座標平面の原点を$\mathrm{O}\text{，}$放物線$y=x^2$を$P$とする．点$\mathrm{A}$$(a,a^2)$における$P$の接線を$l$とし，$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．$P$と線分$\mathrm{OB}$および線分$\mathrm{AB}$で囲まれた部分の面積$S(a)$が整数となるような$a$のうち，最小のものを$a_0$とすると，$(a_0,S(a_0))=\text{(b)}$である．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$\mathrm{OA}⫽\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{OB}⫽\mathrm{AC}$となる平行四辺形$\mathrm{OACB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{EP}:\mathrm{PF}=\text{(c)}$である．

【２】　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$について，$7\cdot 2^{2n-1}+3^{3n-1}$は$23$の倍数であることを，数学的帰納法で証明せよ．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　さいころを$3$回投げ，出た目を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．$a+b=c$となる確率は$\text{(ア)}$である．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$7^p\cdot 7^q$$\text{（}p\text{，}$$q$は$0$以上の整数）と表される数を小さいものから順に並べたものを$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{．}\cdots$とする．例えば，$a_1=1=7^0\cdot {17}^0\text{，}$$a_2=7=7^1\cdot {17}^0$などとなる．このとき，$2023=7^1\cdot {17}^2$の次の数を$4$桁の整数で表すと，$\text{(イ)}$である．ただし，${\log }_{7}17=1.456$とする．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，不等式$2{\sin }^2\theta$$+\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta$$-{\cos }^2\theta \geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$\theta$の値の範囲を求めると，$\text{(ウ)}$である．

【４】　$2$次方程式$x^2-3x-2=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が${\alpha }^2\text{，}$${\beta }^2$を解にもつとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　$2$次方程式$x^2+cx+d=0$が${\alpha }^6\text{，}$${\beta }^6$を解にもつとき，$c\text{，}$$d$の値を求めよ．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．(1)の結果にも注意すること．なお，グラフの凹凸を調べる必要はない．

(3)　$a$は正の実数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S\text{，}$曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a\text{，}$$x=2a$で囲まれた部分の面積を$T$とする．$S=T$のとき，$a$の値を求めよ．