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問2 正方形のつの対角線の交点をとする.正方形のつの辺とつの対角線上を,次の決まり(ア),(イ),(ウ)に従って移動する点をとする.
(ア) 点が交点上にあるとき,移動開始の合図があると,点は頂点のいずれかに移動して止まる.各頂点に移動する確率はそれぞれである.
(イ) 点が頂点のいずれかの上にあるとき,移動開始の合図があると,点は隣接するつの頂点※あるいは交点に移動して止まる.各頂点および交点に移動する確率はそれぞれである.
※例えば,頂点の隣接するつの頂点はとである.
(ウ) 点は頂点または交点上にしか止まらない.また,点が止まっているときにのみ合図が回あり,合図が終わってから点は移動を開始する.
回目の合図のあとに点が止まり,回目の合図の前に,点が交点上にある確率をとする.ただし,は正の整数であり,各移動はそれぞれ独立であるとする.
1) はじめに点が交点上にあるとする.
(1) の値をそれぞれ求めなさい.
(2) をの式で表しなさい.ただし,回目の合図のあと,回目の合図の前に点が頂点のいずれかの上にある確率は等しいことを用いてよい.
(3) をの式で表しなさい.
2) はじめに点が頂点上にあるとする.
(1) の値をそれぞれ求めなさい.
(2) とする.合計回の合図によるすべての移動において,点が正方形のいずれかの辺を少なくとも回通り,かつ,交点に少なくとも回止まる確率をの式で表しなさい.ただし,は正の整数である.
と原点を通る曲線
を考える.直線が曲線に接するときの直線の傾きをとし,の範囲をとする.また,直線直線軸で囲まれた図形の面積をとする.ただし,とし,のときはとする.さらに,直線と曲線で囲まれた図形の面積をとする.ただし,のときはとする.をの関数としてとする.
1) をの式で表しなさい.
2)(1) 関数の導関数を求めなさい.
(2) の値を求めなさい.
3) をの多項式またはそれを因数分解した式で表しなさい.
4) 関数の導関数がとなるをの式で表しなさい.
5) の最大値,最小値をそれぞれ実数またはの式で表しなさい.ただし,求めた値が最大値,最小値となる理由もそれぞれ示しなさい.