2023　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　$k$を正の実数とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上で媒介変数$t$を用いて

$x=f(t)=e^{kt}\cos t\text{，}$$y=g(t)=e^{kt}\sin t$

と表される曲線$C$を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を$(a,b)$とし，$ka\ne b$を満たすものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$$(a,b)$における接線$l$の傾きを$a\text{，}$$b\text{，}$$k$を用いて表せ．

問２　問１で求めた接線$l$上に点$\mathrm{P}$と異なる任意の点$\mathrm{Q}$$(x,y)$をとる．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$とのなす角を$\theta$とするとき，$|\cos \theta |$を$k$を用いて表せ．

問３　$\tan \alpha =k$$(0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．関数$f(t)$は$\alpha \leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で減少関数であることを示せ．

問４　$\alpha$を間３で定めた数とし，$x_1=f(\beta )$$(\alpha <\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．このとき，$x$軸，$y$軸，直線$x=x_1\text{，}$および曲線$C$の$\beta \leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分によって囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を実数とする．$x$に関する$3$次方程式

(＊)　$x^3-3ax+b=0$

は虚数解をもち，$3$個の解は複素数平面上で一直線上にないものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

問１(1)　$a\text{，}$$b$の満たす条件を示し，それを$ab$平面上に図示せよ．

(2)　方程式(＊)の実数解を$c$とするとき，虚数解を$a\text{，}$$c$および虚数単位$i$を用いて表せ．

問２　複素数平面上で方程式(＊)の$3$個の解を頂点とする三角形を$K$とする．

(1)　$K$が点$1$を中心とする半径$2$の円$|z-1|=2$に内接しているとき，$a$と$b$の値を求めよ．

(2)　$K$が点$1$を中心とする半径$r$の円に内接しているとき，$K$の$3$つの頂点を表す複素数と半径$r$を$a$を用いてそれぞれ表し，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=\mathrm{\angle BCD}=60\mathrm{°}$とする．辺$\mathrm{AC}$を$\mathrm{AL}:\mathrm{LC}=1:6$に内分する点$\mathrm{L}$をとり，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{AM}$と$\mathrm{BL}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の各問いに答えよ．

問１　辺$\mathrm{AC}$の長さ，および内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

問３　三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点は$\mathrm{P}$に一致する．

(1)　$\mathrm{PD}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{PD}$上に$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{PD}}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0$のとき，$k$の値と四面体$\mathrm{QABC}$の体積を求めよ．ただし，$0<k<1$とする．

【４】　投げたときに表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨がある．この硬貨を繰り返し投げ，$3$回連続して同じ面が出るまで続けるゲームをする．$n$を自然数とし，$n$回目，$n+1$回目，$n+2$回目に$3$回連続して表が出てゲームが終了するときの場合の数を$a_n$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

問１　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$をそれぞれ求めよ．求める過程も示せ．

問２　$F_1=1\text{，}$$F_2=1\text{，}$$F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められた数列$\{F_n\}$の一般項は，$F_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}\{{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)}^n\}$で与えられる．このとき，級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{F_n}{2^n}}$の和を求めよ．

問３　$n$回目，$n+1$回目，$n+2$回目に$3$回連続して表が出てゲームが終了する確率を$P_n$とおく．問２の結果を用いて，級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{P}_n$の和を求めよ．