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【4】 以下のカーリングを題材にした課題と,それに対する北見さんの考察を読み,文章中の問1〜問4に答えよ.
課題
平面において,半径の円をカーリングストーンとみなす.ストーンの中心はに置かれているとする.プレイヤーは,軸上の好きな位置から,軸の正の方向にストーンを投げる.ただし,投げたストーンの中心が直線上を移動するものとする.このとき,がに当たるための条件を自由に考察せよ.
【北見さんの考察1】
ストーンを投げる軸上の位置をとし,の中心が直線上のの範囲を動くとする.ただし,とする.ここにおいて,またはならば,がに当たらないことは明らかである.したがって,とのとり得る値の範囲を,それぞれとして考える.
半径中心の円の周および内部をとする.半径の円の中心が上のの範囲を動くとき,その円の周および内部が通過する部分をとする.との共通部分がある,すなわち,が空集合でないとき,がに当たると判定する.
問1
かつのとき,がに当たるかどうかを答えよ.なお,証明はしなくてよい.
【北見さんの考察2】
次に,がに当たるとき,とが満たす条件を考える.ならば,がに当たるときの条件は,のすべてであることがすぐにわかる.
とする.また,直線と垂直に交わり,点を通る直線をとし,との交点をとする.点と直線の距離は,点と点の距離に等しい.
問2
のとき,点と直線の距離をとを用いて表せ.
問3
において,がに当たるとき,とが満たす条件を求めよ.さらに,この条件が成立するような点の領域を平面内に図示せよ.
【北見さんの考察3】
問3で示した,がに当たる点の領域の面積をとする.直線と軸のなす角をとすると,であることを利用して,の値を求めることができる.
問4
の値を求めよ.必要ならば,次の式が成り立つことを用いてよい.
が表す部分の面積はである.したがって,この中で,がに当たるような点の領域と,当たらないような点の領域の面積の比はであると考えられる.