2023　弘前大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$は$a\geqq b\text{，}$$4b>a\text{，}$$ab>4$を満たす自然数とする．三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}={\log }_{2}a\text{，}$$\mathrm{CA}={\log }_{2}b$とする．次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さが$4+{\log }_{2}3+{\log }_{2}5$となる自然数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた自然数の組$(a,b)$において，$\mathrm{AB}\times \mathrm{BC}\times \mathrm{CA}$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$a$は$0\leqq a\leqq 18$を満たす整数とする．$18$本のくじの中に，当たりが$a$本あり，はずれが$(18-a)$本ある．この$18$本のくじから$1$本を引き，引いたくじをもとに戻す．この試行を$6$回繰り返すとき，次の確率(＊)を$P(a)$とする．

(＊)$1$回目と$6$回目がともに当たりであり，かつ$6$回の間に当たりが$3$回以上は続かない確率

次の問いに答えよ．

(1)　$p={\displaystyle \frac{a}{18}}$とおくとき，$P(a)$を$p$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq a\leqq 18$を満たす整数$a$において，$P(a)$が最大となる$a$の値を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=2\text{，}$$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\text{，}$内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=3$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$の値を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\cos \mathrm{\angle OMA}$の値を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{3}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

【４】　次の問いに答えよ．

(2)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{x}{{\cos }^{2}x}}\mathit{dx}$

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+1}}}$を考える．曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における接線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の導関数と第$2$次導関数を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$l\text{，}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【６】　自然数$n$に対して，複素数$z_n$を

$z_n={(1+\sqrt{3}i)}^n$

と定める．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　$z_8$の虚部を求めよ．

(2)　不等式

$\left|z_n\right|>|z_n-2\cdot {10}^{10}i|$

を満たす最小の自然数$n$を求めよ．必要があれば，$3.3<{\log }_{2}10<3.4$であることを用いてよい．

【７】　次の不等式の表す領域を図示せよ．

${\log }_2(x^2+y^2-2)<1+{\log }_2|y-x|$

【８】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\log 2}}|x-e^t|\mathit{dt}$

と定める．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(1)$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2$における$f(x)$の最小値を求めよ．

【９】　$k$を実数として，$x$についての方程式

$x^3-x^2-kx+3-2k=0$$\cdots \text{(＊)}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　方程式(＊)について，$0<x<2$の範囲における異なる実数解の個数が$2$個であるような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　方程式(＊)について，$-1\leqq x\leqq 2$の範囲における異なる実数解の個数が$2$個であるような$k$の値を求めよ．