2023　弘前大学　後期理工学部MathJax

【１】　$(x,y,z)$を座標とする座標空間において，次の$8$点

$\mathrm{A}(0,-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(1,-1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{D}(0,1,0)\text{，}$

$\mathrm{E}(0,-1,4)\text{，}$$\mathrm{F}(1,-1,4)\text{，}$$\mathrm{G}(1,1,4)\text{，}$$\mathrm{H}(0,1,4)$

を頂点とする直方体を考える．$\mathrm{O}$$(0,0,0)$を原点とし，$\mathrm{P}$$(1,y,z)$を平面$x=1$上の点とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$となるための条件を，$y\text{，}$$z$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が長方形$\mathrm{BCGF}$上を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を満たしながら動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最大値，最小値，および，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，長方形$\mathrm{BCGF}$は，内部だけでなく，$4$つの辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CG}\text{，}$$\mathrm{GF}\text{，}$$\mathrm{FB}$を含むとする．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2-{\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{x-t}{4+t^2}}\mathit{dt}$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　微分係数$f^{\prime }(2)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

【３】　$a$は実数とし，

$f(x)=x{(\log x)}^2-(a+2)x\log x+2ax$

とする．次の問いに答えよ．ただし，以下の問いにおいて，$e$は自然対数の底とする．

(1)　関数$f(x)$が$1<x<e^2$の範囲において極値をもたないような$a$の値を求めよ．

(2)　$a=0$のとき，次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_1^{e^2}}|f(x)|\mathit{dx}$