2023　弘前大学　後期追試験MathJax

【１】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{1}{3+2x-x^2}}\mathit{dx}$

(2)　${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}}}\mathit{dx}$

【２】　$t$を実数，$i$を虚数単位とする．複素数${\displaystyle \frac{1}{1+(1-t)i}}$を$2$つの実数$x\text{，}$$y$を用いて

${\displaystyle \frac{1}{1+(1-t)i}}=x+yi$

と表す．次の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}$$y$をそれぞれ$t$を用いて表し，${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}$を求めよ．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，座標平面上に点$(x,y)$が描く図形を図示せよ．

(3)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，$y-x$の最大値，最小値，および，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【３】　次の条件によって数列$\{a_n\}$を定める．

$a_1=10\text{，}$$a_{n+1}=3a_n+4\cdot 7^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$を

$b_n=a_n-7^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．また，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{c_n\}$を

$c_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．すべての自然数$n$について，$c_n$は$24$の倍数であることを証明せよ．

(3)　$a_{2023}$を$24$で割ったときの余りを求めよ．