2023　岩手大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$x\text{，}$$y$が，$x>0\text{，}$$y>0\text{，}$$2x+y=1$を満たすとき，$xy$のとりうる値の最大値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}$$y$の値を記せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$0<\alpha <\pi \text{，}$$0<\beta <\pi \text{，}$$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{2}{5}}\text{，}$$\tan \beta =-{\displaystyle \frac{3}{7}}$のとき，$\tan (\alpha -\beta )$の値を求めよ．さらに，$\alpha -\beta$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　等比数列$\{a_n\}$の初項から第$6$項までの和が$9$であり，かつすべての自然数$n$に対して$a_n+4a_{n+2}=4a_{n+1}$が成り立つとき，この等比数列の初項と公比を求めよ．

【２】　以下の極限値を求めよ．

(1)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+\sin x}{x^2-\pi x}}$

(2)　$\underset{x\to -\pi }{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+\sin x}{x^2-\pi x}}$

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x^2}}$

(4)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+\sin x}{x^2-\pi x}}$

(5)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2\sin x-{\cos }^{2}x+1}{x^3(x-\pi )}}$

【３】　座標空間内の$3$点$\mathrm{A}$$(6,-2,9)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,-6,3)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,-1,7)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$は直角三角形であることを示せ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は，平面$\mathrm{ABC}$上のある正六角形の頂点である．この正六角形の，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$以外の$3$つの頂点の座標をすべて求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{x-1}}}\mathit{dx}$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(2)　次の曲線と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$y=\cos 2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi )$

【４】　次の問いに答えよ．

(3)　曲線$y=\sqrt{x+1}{e}^{2x}$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=1$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【５】　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$において，曲線$C_1\text{，}$$C_2$が媒介変数を用いて，それぞれ

$C_1\text{：}\{\begin{array}{l}x=\cos \theta +\theta \sin \theta \\ y=\sin \theta -\theta \cos \theta \end{array}$

$C_2\text{：}[\begin{array}{l}y=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$

と表される．

　曲線$C_1$上の$\theta =\alpha$に対応する点を点$\mathrm{A}$$(\cos \alpha +\alpha \sin \alpha ,\sin \alpha -\alpha \cos \alpha )$とし，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線を$l\text{，}$点$\mathrm{A}$における$C_1$の法線を$m$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，法線$m$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C_2$上の$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$に対応する点における接線の方程式を求めよ．

(4)　$\alpha$の値に関わらず，法線$m$は常に曲線$C_2$に接することを示し，$m$と$C_2$の接点の座標を求めよ．

【２】　$100$枚のカードに$1$から$100$までの整数が$1$枚につき$1$つずつ書かれている．この$100$枚のカードを次のようにして$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に分けて入れる：

・$3$で割り切れる奇数が書かれたカードはすべて箱$\mathrm{A}$に入れる．

・$3$で割り切れない偶数が書かれたカードはすべて箱$\mathrm{B}$に入れる．

・箱$\mathrm{A}$にも箱$\mathrm{B}$にも入れられなかったカードはすべて箱$\mathrm{C}$に入れる．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　箱$\mathrm{A}$から無作為に取り出した$1$枚のカードに書かれている数が$7$の倍数である確率を求めよ．

(2)　箱$\mathrm{A}$と箱$\mathrm{B}$からそれぞれ$1$枚ずつカードを無作為に取り出すとき，取り出された$2$枚のカードに書かれている数の積が$49$の倍数である確率を求めよ．

(3)　箱$\mathrm{A}\text{，}$箱$\mathrm{B}\text{，}$箱$\mathrm{C}$からそれぞれ$1$枚ずつカードを無作為に取り出すとき，取り出された$3$枚のカードに書かれている数がすべて$7$の倍数である確率を求めよ．

【４】　$f(x)=x^3+5x^2-3x-9$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$(-3,0)$を通り曲線$y=f(x)$に接する直線と，曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(2)　点$(-3,0)$と点$(-1,f(-1))$を通る直線と曲線$y=f(x)$のすべての交点の$x$座標をそれぞれ求めよ．

(3)　方程式$f(x)=m(x+3)$が$3$つの相異なる整数解をもつような定数$m$の値をすべて求めよ．

【５】　不等式

$({\log }_{x}9-1){\log }_{3}y+{\log }_{3}x$$\leqq ({\log }_3{\displaystyle \frac{y}{x}}+2){\log }_{x}y$

を満たすような$x\text{，}$$y$について，次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{3}x=A$とするとき，${\log }_{x}9$を$A$で表せ．さらに${\log }_{3}y=B$とするとき，${\log }_3{\displaystyle \frac{y}{x}}$および${\log }_{x}y$をそれぞれ$A\text{，}$$B$で表せ．

(2)　点$(x,y)$の存在する範囲を$xy$平面上に図示せよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{e^2}}{\displaystyle \frac{\log x}{x}}\mathit{dx}$を計算せよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^3+18x^2-2x-4}{x+2}}$の極値をすべて求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(3)　すべての実数$x$に対し$4x-x^2\leqq g(x)\leqq 2+x^2$を満たす関数$g(x)$は，$x=1$において微分可能であることを示せ．