2023　東北大学　前期MathJax

【１】　赤玉$4$個と白玉$5$個の入った，中の見えない袋がある．玉はすべて，色が区別できる他には違いはないものとする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が，$\mathrm{A}$から交互に，袋から玉を$1$個ずつ取り出すゲームを行う．ただし取り出した玉は袋の中に戻さない．$\mathrm{A}$が赤玉を取り出したら$\mathrm{A}$の勝ちとし，その時点でゲームを終了する．$\mathrm{B}$が白玉を取り出したら$\mathrm{B}$の勝ちとし，その時点でゲームを終了する．袋から玉がなくなったら引き分けとし，ゲームを終了する．

(1)　このゲームが引き分けとなる確率を求めよ．

(2)　このゲームに$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

【２】　関数$f(x)=\sin 3x+\sin x$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$を満たす正の実数$x$のうち，最小のものを求めよ．

(2)　正の整数$m$に対して，$f(x)=0$を満たす正の実数$x$のうち，$m$以下のものの個数を$p(m)$とする．極限値$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{p(m)}{m}}$を求めよ．

【３】　$s$を実数とし，数列$\{a_n\}$を

$a_1=s\text{，}$$(n+2)a_{n+1}=n{a}_n+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を$n$と$s$を用いて表せ．

(2)　ある正の整数$m$に対して${\displaystyle \sum _{n=1}^m}{a}_n=0$が成り立つとする．$s$を$m$を用いて表せ．

【４】　実数$a={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$に対して，整式$f(x)=x^2-ax+1$を考える．

(1)　整式$x^4+x^3+x^2+x+1$は$f(x)$で割り切れることを示せ．

(2)　方程式$f(x)=0$の虚数解であって虚部が正のものを$\alpha$とする．$\alpha$を極形式で表せ．ただし，$r^5=1$を満たす実数$r$が$r=1$のみであることは，認めて使用してよい．

(3)　設問(2)の虚数$\alpha$に対して，${\alpha }^{2023}+{\alpha }^{-2023}$の値を求めよ．

【５】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおき，次が成り立つとする．

$\mathrm{\angle AOB}=60\mathrm{°}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{6}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=3$

ただし$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$は，$2$つのベクトル$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$の内積を表す．さらに，線分$\mathrm{OC}$と線分$\mathrm{AB}$は垂直であるとする．点$\mathrm{C}$から$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を含む平面に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とし，点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線を$\mathrm{OK}$とする．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{c}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{HK}}$は平行であることを示せ．

【６】　関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{4}{6x+1}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$の接線で，傾きが$1$であり，かつ接点の$x$座標が正であるものの方程式を求めよ．

(2)　座標平面上の$2$点$\mathrm{P}$$(x,f(x))\text{，}$$\mathrm{Q}$$(x+1,f(x)+1)$を考える．$x$が$0\leqq x\leqq 2$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形$S$の概形を描け．また$S$の面積を求めよ．

【２】　平面上の半径$1$の円$C$の中心$\mathrm{O}$から距離$4$だけ離れた点$\mathrm{L}$をとる．点$\mathrm{L}$を通る円$C$の$2$本の接線を考え，この$2$本の接線と円$C$の接点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{LMN}$の面積を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{LMN}$の内接円の半径$r$と，三角形$\mathrm{LMN}$の外接円の半径$R$をそれぞれ求めよ．

【３】　$a$を実数とし，$2$次関数$f(x)=x^2+2ax-3$を考える．実数$x$が$a\leqq x\leqq a+3$の範囲を動くときの$f(x)$の最大値および最小値を，それぞれ$M(a)$および$m(a)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$M(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$m(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a$がすべての実数を動くとき，$m(a)$の最小値を求めよ．

【４】　関数$f(x)$に対して，座標平面上の$2$つの点$\mathrm{P}$$(x,f(x))\text{，}$$\mathrm{Q}$$(x+1,f(x)+1)$を考える．実数$x$が$0\leqq x\leqq 2$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形の面積を$S$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=-2|x-1|+2$に対して，$S$の値を求めよ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-1)}^2$に対して，曲線$y=f(x)$の接線で，傾きが$1$のものの方程式を求めよ．

(3)　設問(2)の関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-1)}^2$に対して，$S$の値を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文・教育・法・経済(文系)・医(保健学科看護学専攻)学部

理系　経済(理系)・理・医(医学科・保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻)・歯・薬・工・農学部