2023　東北大学　後期MathJax

$D$は不等式$y\geqq 2x^2+2ax-b$の表す領域

$E_1$は不等式$y\geqq x^2-2x$の表す領域

$E_2$は不等式$y\geqq -x^2$の表す領域

また，領域$E$を$E_1$と$E_2$の共通部分とする．以下の問いに答えよ．

(1)　領域$E$を図示せよ．

(2)　領域$D$のすべての点が領域$E$の点となるような$ab$平面上の点$(a,b)$のうち，$b$の値が最大となる点$(a,b)$の座標を求めよ．

(ⅰ)　$1\leqq a\leqq n$を満たすすべての整数$a$に対して，点$(a,a)$は$P$に属する．

(ⅱ)　点$(a,b)$が$P$に属するならば，点$(b,a)$も$P$に属する．

(ⅲ)　点$(a,b)$が$P$に属し，かつ点$(b,c)$が$P$に属するならば，点$(a,c)$も$P$に属する．

以下の問いに答えよ．

(1)　$n=3$のとき，条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たす$S_3$の部分集合$P$であって，点$(1,2)$を含むものをすべて求めよ．

(2)　$n=4$のとき，条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たす$S_4$の部分集合$P$は，全部でいくつあるか答えよ．

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2$$\geqq 2(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}})$

が成り立つことを示せ．ただし座標空間の$2$つの点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を表す．

(1)　$\sigma (30)$を求めよ．

(2)　正の整数$n$と，$n$を割り切らない素数$p$に対して，等式

$\sigma (pn)=(p+1)\sigma (n)$

が成り立つことを示せ．

(3)　次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たす正の整数$n$をすべて求めよ．

(ⅰ)　$n$は素数であるか，または$r$個の素数$p_1\text{，}$$p_2\text{，}\cdots \text{，}$$p_r$（ただし$r$は$2$以上の整数で，$p_1<p_2<\cdots <p_r\text{）}$を用いて$n=p_1\times p_2\times \cdots \times p_r$と表される．

(ⅱ)　$\sigma (n)=72$が成り立つ．

(＊)　直線$L$上にあるすべての点に対して，$\left|{\displaystyle \frac{z+a}{z+1}}\right|=1$が成り立つ．

以下の問いに答えよ．

(1)　複素数$a$を求めよ．

(2)　$z=x+yi$$\text{（}x\text{，}$$y$は実数）を，$-1$と異なる複素数とする．$x>y$は$\left|{\displaystyle \frac{z+a}{z+1}}\right|<1$であるための必要十分条件であることを示せ．

(1)　次の式が成り立つことを示せ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{\log n}}{\displaystyle \sum _{m=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{m}}=1$

(2)　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^{n-1}}{\sqrt{x+1}}}\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．正の整数$n$に対して，部分積分を用いて次の式が成り立つことを示せ．

$a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}n}}+{\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{2}n(n+1)}}$$+{\displaystyle \frac{3}{4n(n+1)}}{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^{n+1}}{{(x+1)}^{\frac{5}{2}}}}\mathit{dx}$

(3)　設問(2)で定めた数列$\{a_n\}$を用いて

$b_n={\displaystyle \frac{1}{\log n}}{\displaystyle \sum _{m=1}^n}{a}_m$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

とおくとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

${\log }_{9}2x+{\log }_3{(x^2+3x-4)}^2$$\leqq 5{\log }_{9}x+{\log }_3\sqrt{2}$

を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$${\displaystyle {\int }_{-1}^0}f(x)\mathit{dx}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

を満たすように，実数$a\text{，}$$b$を定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$a$を$t$を用いて表せ．また，$b$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の最小値$m(t)$を，$T=3t^2+1$を用いて表せ．

(3)　設問(2)の$m(t)$が最大となるときの$T=3t^2+1$の値と，$m(t)$の最大値を求めよ．