2023　宮城教育大学　前期MathJax

【１】　$6$次多項式

$P(x)=x^6+x^5$$+x^3+x^2+x+1$

について次の問に答えよ．

(1)　$6$次方程式$P(x)=0$の解は

$\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{7}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi k}{7}}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{）}$

であることを示せ．ただし$i$は虚数単位である．

(2)　$6$次多項式$P(x)$は実数を係数とする$1$次式では割り切れないことを示せ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする空間に$4$点$\mathrm{A}$$(1,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,-1,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(-1,-1,-1)$をとり，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{D}$が平面$\alpha$上にないことを示せ．

(2)　点$\mathrm{H}$を平面$\alpha$上の点とする．直線$\mathrm{DH}$が平面$\alpha$に垂直であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$において，線分$\mathrm{DH}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2x^3}{x^2-3}}$について次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減，極値，および，曲線$y=f(x)$の凹凸，変曲点ならびに漸近線を調べて，そのグラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$上で$x$座標が${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$となる点を$\mathrm{A}$とする．原点と点$\mathrm{A}$を通る直線および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$0<r<2$とする．数列$\{a_n\}$を

$a_1={\displaystyle {\int }_0^r}{e}^{-\frac{x}{2}}\mathit{dx}\text{，}$$a_n={\displaystyle {\int }_0^r}{x}^{\frac{n-1}{2}}{e}^{-\frac{x}{2}}\mathit{dx}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，次の問に答えよ．

(1)　関係式

$a_{n+1}=n{a}_{n-1}-2r^{\frac{n}{2}}{e}^{-\frac{r}{2}}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{2^n(n-1)!}}{a}_{2n-1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，

$b_n=1-\{1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{k!}}{\left({\displaystyle \frac{r}{2}}\right)}^k\}{e}^{-\frac{r}{2}}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．

(3)　不等式$0<a^n\leqq r^{\frac{n+1}{2}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }\{1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{k!}}{\left({\displaystyle \frac{r}{2}}\right)}^k\}$を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　鋭角三角形の3つの内角の大きさを$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とするとき，次の等式が成り立つことを示せ．

$\tan A+\tan B+\tan C$$=\tan A\tan B\tan C$

【１】　次の問に答えよ．

(2)　$X={\log }_{2}x$とおくとき，${\log }_{4}x$を$X$で表し，等式

$4^{{\log }_2({\log }_{2}x)}+4^{{\log }_4({\log }_{4}x)}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$

をみたす$x$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3-x-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減と極値を調べ，そのグラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=3x-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　$a$を定数とするとき，$a\leqq x\leqq a+1$における関数$f(x)$の最大値を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式

$2\cos 2\theta +4\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$$+2\sqrt{2}\sin (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$+2-\sqrt{3}\leqq 0$

を解け．

【３】　$a>0\text{，}$$b>0$とし，放物線$C_1$と$C_2$を

$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2(a+b)}}{x}^2+{\displaystyle \frac{a-b}{2}}$

$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2b}}{x}^2+{\displaystyle \frac{b}{2}}$

とするとき，次の問に答えよ．

(1)　放物線$C_1$と$C_2$が共有点をもつための必要十分条件を$a$と$b$を用いて表せ．また，そのときの共有点の座標を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　放物線$C_2$の接線のうち原点を通り傾きが正の接線$l$の方程式を求めよ．また，そのときの接点$\mathrm{P}$の座標を$b$を用いて表せ．

(3)　$b=1$とする．放物線$C_1$が(2)で求めた接点$\mathrm{P}$を通るとする．このとき，$a$の値を求め，放物線$C_1$と(2)で求めた直線$l$とで囲まれた図形の面積を求めよ．