2023　秋田大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$\mathrm{AB}=8\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{CA}=7$の$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{AC}$について点$\mathrm{B}$と対称な点を${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．四角形$\mathrm{ABC}{\mathrm{B}}^{\prime }$の対角線$\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$の長さを求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅱ)　${(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^6{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^6$を展開したときの$x^8$の係数を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(ⅲ)　生徒$15$人の$10$点満点で実施した漢字テストの点数について，平均値が$6$点，分散が$2$であった．その後，ほかの生徒$5$人に対して，同じテストを追加で実施したところ，次のような点数となった．

$5\text{，}3\text{，}9\text{，}7\text{，}6$（点）

この生徒$20$人のテストの点数の分散を求めなさい．

【２】　放物線$C\text{：}y=x^2-4x+3$がある．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　放物線$C$上の$x$座標が$1$である点における接線の方程式，および$x$座標が$5$である点における接線の方程式をそれぞれ求めなさい．

(ⅱ)　放物線$C$と(ⅰ)の$2$つの接線とで囲まれた部分の面積を求めなさい．

【３】　$1$から$9$までの番号が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードが箱に入っている．箱から同時に$2$枚のカードを取り出し，取り出した$2$枚のカードの番号の和を$S$とする．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$S$が$3$の倍数になる確率を求めなさい．

(ⅱ)　$S$が素数になる確率を求めなさい．

(ⅲ)　$\sqrt{S^2+36}$が整数になる確率を求めなさい．

【４】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,5)\text{，}$$\mathrm{C}$$(6,1)$をとる．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に外分する点$\mathrm{D}$の座標を求めなさい．

(ⅱ)　(ⅰ)の点$\mathrm{D}$を通り，$\overrightarrow{u}=(1,-2)$を方向ベクトルとする直線を$l$とする．媒介変数$t$を用いた$l$の媒介変数表示を求めなさい．ただし，$t=0$のときの点を$\mathrm{D}$とする．また，媒介変数を消去した式も求めなさい．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$が(ⅱ)の直線$l$上にあるとする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の内積が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積と等しいとき，$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

【５】　座標平面上に媒介変数$\theta$を用いて

$x=2\cos \theta \text{，}$$y=1+\sin \theta$

と表される曲線$C$がある．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　媒介変数$\theta$を消去して$x$と$y$の関係式を求めなさい．

(ⅱ)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$に対応する点における$C$の接線$l$の方程式を求めなさい．

(ⅲ)　曲線$C$と(ⅱ)の接線$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【６】　$2$個の文字$\mathrm{a}\text{，}$$\mathrm{b}$から重複を許して$n$個$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$選んで一列に並べたものを「長さ$n$の文字列」と呼ぶ．長さ$n$の文字列$S$が，長さ$n$未満の文字列$S^{\prime }$をくり返し$m$回$\text{（}m=2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$用いて

$S=S^{\prime }{S}^{\prime }\cdots S^{\prime }$$\cdots$(＊)

と表現できるとき，$S$を「くり返し列」と呼ぶ．長さ$n$未満のどのような文字列$S^{\prime }$を用いても(＊)の形で表現できないとき，$S$を「非くり返し列」と呼ぶ．たとえば，長さ$6$の文字列$\mathrm{ababab}$は長さ$2$の文字列$\mathrm{ab}$の$3$回のくり返しで表現できるのでくり返し列であり，長さ$5$の文字列$\mathrm{babab}$は非くり返し列である．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　長さ$3$の非くり返し列の個数を求めなさい．

(ⅱ)　長さ$6$の非くり返し列の個数を求めなさい．

(ⅲ)　長さ$8$の非くり返し列の個数を求めなさい．

【７】　$a$は実数とする．座標平面上において，点$(a,0)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$a=0$とし，$\theta$は$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．円$C$と$2$直線$x=\cos \theta \text{，}$$x=-\sin \theta$で囲まれた部分の面積の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めなさい．

(ⅱ)　$a$は$0\leqq a\leqq 1$を満たすとする．円$C$と$2$直線$x=0\text{，}$$x=1$で囲まれた部分の面積の最大値と，そのときの$a$の値を求めなさい．

【８】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，点${\mathrm{P}}_n\text{，}$${\mathrm{Q}}_n\text{，}$${\mathrm{R}}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$は以下を満たすとする．

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}=(1,0,2)\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1}=(-2,1,1)\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_1}=(-2,-5,1)\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+1}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}-3\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_n}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_{n+1}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}-\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_n}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_{n+1}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_n}-\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_n}$

次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_4}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_4}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_4}$の大きさを求めなさい．

(ⅱ)　ベクトル${\displaystyle \sum _{k=1}^{30}}(\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_k}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{R}}_k})$を成分で表しなさい．

志望別問題選択一覧

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理工学部　【１】，【３】，【４】，【５】