2023　山形大学　前期MathJax

【１】　赤球$4$個と白球$6$個が入った袋がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)　袋から球を同時に$2$個取り出すとき，赤球$1$個，白球$1$個となる確率を求めよ．

(2)　袋から球を同時に$3$個取り出すとき，赤球が少なくとも$1$個含まれる確率を求めよ．

(3)　袋から球を$1$個取り出して色を調べてから袋に戻すことを$2$回続けて行うとき，$1$回目と$2$回目で同じ色の球が出る確率を求めよ．

(4)　袋から球を$1$個取り出して色を調べてから袋に戻すことを$5$回続けて行うとき，$2$回目に赤球が出て，かつ全部で赤球が少なくとも$3$回出る確率を求めよ．

(5)　袋から球を$1$個取り出し，赤球であれば袋に戻し，白球であれば袋に戻さないものとする．この操作を$3$回繰り返すとき，袋の中の白球が$4$個以下となる確率を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=|x^2-4x+2|$と$g(x)=|-x+2|$について，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$f(x)=0$の解と$g(x)=0$の解をそれぞれすべて求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの交点の座標をすべて求めよ．

(2)　次の連立不等式が表す領域の面積を求めよ．

$0<x<4\text{，}$$y\geqq |-x+2|\text{，}$$y\leqq |x^2-4x+2|$

(3)　次の連立不等式が表す領域の面積を求めよ．

$-2\leqq x\leqq 0\text{，}$$y\leqq |-x+2|\text{，}$$y\geqq |x^2-4\left|x\right|+2|\text{，}$$y\geqq |-\left|x\right|+2|$

【３】　平面上に平行四辺形$\mathrm{ABCD}$がある．ただし，$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=1$とする．また，点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$へ垂線を下ろし，その交点$\mathrm{E}$が$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$\text{（}1<t<2\text{）}$を満たすとする．さらに，線分$\mathrm{BC}$と線分$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$t$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$t$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{AC}$の長さを$t$を用いて表せ．

(4)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$t$を用いて表せ．

(5)　$\mathrm{▵BEC}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．また，$S^2$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【４】　次のように定められた数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}=2a_n-3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$b_n$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$n^2+1$を$4$で割ったときの余りを$c_n$とする．このとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{c}_k$を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{b}_k{c}_k$を求めよ．

【５】　次の問に答えよ．

(1)　定数$a$を$a\ne -1$とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+a}{x-1}}$について，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$が極大値と極小値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　関数$f(x)$が極小値$6$をもつような$a$の値を求めよ．

【５】　次の問に答えよ．

(2)　曲線$y=x^4+2x^3-3x^2$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}$$(1,0)$における接線を$L$とするとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)に答えよ．

(ⅰ)　接線$L$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と接線$L$の共有点の座標を求めよ．

(ⅲ)　曲線$C$と接線$L$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【６】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，放物線$y^2=4px$$\text{（}p>0\text{）}$を$C_p$とする．点$\mathrm{P}$を$C_p$上の点とし，$\mathrm{P}$の$y$座標を正とする．点$\mathrm{P}$における放物線$C_p$の接線と$x$軸の交点の座標を$(-q,0)$とする．また，点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{OP}$と接し，$x$軸の負の部分とも接する円を$D_1$とする．点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{OP}$と接し，$x$軸の正の部分とも接する円を$D_2$とする．円$D_1$と円$D_2$の半径をそれぞれ$r_1\text{，}$$r_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　円$D_1$と円$D_2$の中心の$x$座標をそれぞれ$x_1\text{，}$$x_2$とするとき，$x_1$と$x_2$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(3)　$r_1$と$r_2$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(4)　円$D_1$と円$D_2$の面積の和$S$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(5)　$pq=1-q^2$を満たしながら$p\text{，}$$q$が変化するとき，$S$の最小値と，そのときの$q$の値を求めよ．

問題選択一覧

人文社会科学部　【１】,【２】,【３】

理学部　【１】,【３】,【４】,【５】

医学部　【１】,【３】,【５】,【６】

農学部　【１】,【２】,【３】,【４】