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2023-10141-0101
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2023 福島大学 前期
共生システム理工学類
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えなさい.
(1) 5 進法で表された数 1234 (5 ) を 10 進法で表しなさい.
2023-10141-0102
(2) 6.4× 10163 の値を求めなさい.
2023-10141-0103
(3) 2 桁の自然数 n がある. n の一の位の数は十の位の数より 2 大きい.また, n の十の位の数の 2 乗は n より 26 小さい.このとき,自然数 n を求めなさい.
2023-10141-0104
【2】 以下の問いに答えなさい.
(1) z=1+ 3⁢i とする.このとき,
1+z+ z2+ z3+ z4+ z5
の値を求めなさい.
2023-10141-0105
(2) 関数
y=x⁢ loge⁡ x
を x について微分しなさい.
2023-10141-0106
(3) 不定積分
∫ loge⁡ x⁢dx
を求めなさい.
2023-10141-0107
(4) 媒介変数 t を用いて,
x= 4t2 +16 , y= tt2 +16
で表される曲線について,点 ( 45 , 35 ) における接線の方程式を求めなさい.
2023-10141-0108
【3】 次の連立不等式
x+2⁢ y≦6 , 3⁢x+ y≦12 , 2⁢x+ y≧4 , y≧0
の表す領域を D とする.点 ( x,y ) がこの領域 D を動くとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 領域 D を図示しなさい.
(2) 領域 D の面積を求めなさい.
(3) x+y の最大値を求めなさい.
(4) x+y の最小値を求めなさい.
2023-10141-0109
【4】 a , p を実数とする.曲線 C :y=2 ⁢loge ⁡x が直線 l :y=a ⁢x と点 P (p, a⁢p ) で接している.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 実数 p , a の値を求めなさい.
(2) 曲線 C と直線 x =p , y=0 で囲まれた図形の面積 S を求めなさい.
(3) 関数 y =x⁢ (log e⁡x )2 を x について微分しなさい.
(4) 曲線 C と直線 l , y=0 で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めなさい.
2023-10141-0110
食農学類
(1) 以下の値を求めなさい.
1 1+ 11+ 1 1+1
2023-10141-0111
(2) 75⁢ ° を弧度で表しなさい.
2023-10141-0112
(3) 方程式
25⁢25 ⁢25 =25x
をみたす x の値を求めなさい.
2023-10141-0113
(4) 多項式
( x2- y2) 2+ ( 2⁢x⁢ y) 2
を因数分解しなさい.
2023-10141-0114
(5) 実数 a , b , c が
a-b+ c=3 , a2 +b2 +c2 =15
をみたすとき, a⁢b+ b⁢c- c⁢a の値を求めなさい.
2023-10141-0115
(1) 以下で定める数列
a1 =36 , a2= 3636 , a3 =363636 . a4 =36363636 , ⋯
について,以下の問いに答えなさい.
(a) an を n を用いて表しなさい.
(b) 初項から第 n 項までの和 S n を n を用いて表しなさい.
2023-10141-0116
(2) x≦-2 とする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(a) -1≦t ≦1 のとき,関数 f ⁡(x )= |x- t| を絶対値のない式で表しなさい.
(b) t に関する積分
∫ -11 | x−t |⁢ dt
を x の式で表しなさい.
2023-10141-0117
【3】 定数 s を用いて空間内に 4 点
O (0, 0,0 ), A (40, 0,0 ), B (0,s ,0) , H (40, 30,120 )
が与えられている. ∠AHB=90 ⁢° のとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 線分 OH の長さを求めなさい.
(2) 定数 s の値を求めなさい.
(3) 点 P (x, y,0 ) とする.このとき, ∠BHP=90 ⁢° をみたす点 P の軌跡が表す方程式を求めなさい.
2023-10141-0118
【4】 連立不等式
x+3⁢ y≦15 , 2⁢x+ y≦10 , x≧0 , y≧0
が表す領域を D とする.点 P (x, y) がこの領域 D を動くとき,以下の問いに答えなさい.
(2) 3⁢x +2⁢y の最大値を求めなさい.
(3) m , n を自然数とする.点 Q (m, n) が領域 D 上を動くとき, 3⁢m+ 2⁢n が最小となる点 ( m,n ) とその最小値を求めなさい.
(4) 実数 a に対し, a⁢x+ y の最大値を求めなさい.
2023-10141-0119
人間社会(数理自然科学)学類
【1】 次の問いに答えなさい.
(1) x⁢y- 5⁢x+ y+4= 0 をみたす正の整数の組 ( x,y ) を全て求めなさい.
2023-10141-0120
(2) a>1 , b>1 のとき,次の不等式を証明しなさい.また,等号が成立するための必要十分条件を求めなさい.
loga⁡ b+logb ⁡a≧ 2
2023-10141-0121
(3) 0≦θ <2⁢π のとき,次の方程式を解きなさい.
cos⁡θ +cos⁡2 ⁢θ+cos ⁡3⁢θ =0
2023-10141-0122
(4) 定積分 ∫ 01 x⁢ex ⁢dx を計算しなさい.
2023-10141-0123
【2】 次の問いに答えなさい.
(1)(ⅰ) 次の等式が x についての恒等式となるように定数 a , b , c の値を定めなさい.
4⁢x2 -9⁢ x+6 (x- 1)⁢ (x -2) 2 = ax-1 + bx-2 + c(x -2) 2
(ⅱ) 定積分 ∫34 4 ⁢x2 -9⁢x +6( x-1) ⁢( x-2) 2 ⁢dx を計算しなさい.
2023-10141-0124
(2) z= -3+ 7⁢i 2 とするとき,次の値を求めなさい.ただし i は虚数単位とする.
z4 +3⁢z 3+2⁢ z2- z-2
2023-10141-0125
(3) 方程式 x44 -x3 -x2 +6⁢x =c が異なる 4 つの実数解を持つように定数 c の値の範囲を定めなさい.
2023-10141-0126
【3】 次の問いに答えなさい.
(1) 数列 { an} は次の[1],[2]の条件をみたす.
[1] a1 =3 ,
[2] an= 2⁢a n-1 +2n ⋅n-1 ( n=2 ,3 ,4 .⋯ )
(ⅰ) α を定数とし bn= an+ α ( n=1 , 2 , 3 , ⋯ ) とおくと,数列 { bn } は関係式
bn= 2⁢b n-1 +2n⋅ n ( n=2 ,3 ,4 ,⋯ )
をみたす.このとき α を求めなさい.
(ⅱ) cn= b n2n ( n=1 , 2 , 3 , ⋯ ) とおくとき,数列 { cn } の一般項を求めなさい.
(ⅲ) 数列 { an } の一般項を求めなさい.
2023-10141-0127
(2) サイコロを 2 回振るとき,次の条件が成り立つ確率を求めなさい.
条件
1 回目に出た目を a , 2 回目に出た目を b とするとき, 0 以上の任意の整数 n に対し
n2 −a⁢n +b≧0
が成立する.
2023-10141-0128
【4】 次の問いに答えなさい.
(1) 三角形 ABC が AB =4 , BC=5 , CA=7 を満たすとき,次の問いに答えなさい.
(ⅰ) 三角形 ABC の面積を求めなさい.
(ⅱ) 三角形 ABC の外接円の半径を求めなさい.
2023-10141-0129
(2) 正 12 角形の頂点が反時計回りに A1 , A 2 ,⋯ A12 の順で位置している.この正 12 角形の外接円の半径は 1 であり,外接円の中心を O とする. O A1 →= a→ , O A2 → =b→ とするとき,次の問いに答えなさい.
(ⅰ) O A4 → を a→ , b→ を用いて表しなさい.
(ⅱ) A 4A 9→ を a→ , b→ を用いて表しなさい.
2023-10141-0130
【5】 座標平面上の円 C 1:x 2+y 2=1 および放物線 C 2:y =c⁢x 2+1 を考える.ただし c は正の定数とする.さらに円 C 1 上に 2 点 A (0, 1) , B ( 32 ,- 12 ) をとるとき,次の問いに答えなさい.
(1) 点 B における円 C 1 の接線が放物線 C 2 に接する.定数 c の値を求めなさい.
(2) (1)の接線の C 2 上の接点を P とする.点 P の座標を求めなさい.
(3) 次の 3 つの線で囲まれた部分の面積を求めなさい.
・円 C 1 上の点 A と点 B を結ぶ弧のうち,短い方
・放物線 C 2 の点 A から点 P の部分
・線分 BP