2023　茨城大学　前期MathJax

【１】　$f(x)=x+2+{\displaystyle \frac{2}{x-1}}$$\text{（}x\ne 1\text{）}$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフと$x$軸との交点，グラフの凹凸，変曲点，漸近線を調べ，グラフの概形をかけ．

(2)　$k$を実数の定数とする．方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．

(3)　曲線$y=\log f(x)$$\text{（}x>1\text{）}$と直線$y=\log 6$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

【２】　$t$を正の実数とする．四面体$\mathrm{OABC}$において，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=t\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$

とする．$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{M}$から直線$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{N}$とする．$s$を実数とし，

$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=s\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$

とおく．以下の各問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|$を$t$を用いて表せ．また，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$s$を$t$を用いて表せ．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|$となる$t$の値を求めよ．

(4)　$t$が(2)の範囲を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{NC}}\right|$の最大値を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．$z$を$0$でない複素数とし，

$S=z^{-2n}+z^{-2n+2}+z^{-2x+4}$$+\cdots +z^{-2}+1+z^2$$+\cdots +z^{2n-4}+z^{2n-2}+z^{2n}$

とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$z^{-1}S-zS$を計算せよ．

(2)　$i$を虚数単位とし，$\theta$を実数とする．$z=\cos \theta +i\sin \theta$のとき，自然数$k$に対して，$z^{-k}+z^k$の実部と$z^{-k}-z^k$の虚部を$\theta$と$k$を用いて表せ．

(3)　$\theta$を実数とし，$\sin \theta \ne 0$とする．次の等式を証明せよ．

$1+2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\cos 2k\theta ={\displaystyle \frac{\sin (2n+1)\theta }{\sin \theta }}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　次の極限を求めよ．

(ⅰ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }\{\log (x+2)-\log x\}$(ⅱ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }x\{\log (x+2)-\log x\}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　次の定積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{e}^{3x+3}\mathit{dx}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　次の定積分を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_1^4}{\displaystyle \frac{{(\sqrt{x}+1)}^2}{x}}\mathit{dx}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(3)　双曲線$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$上の点$(\sqrt{2},2)$における接線の方程式を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　$2$次関数$y=x^2+2(m-1)x+2m^2-7$のグラフが$x$軸と異なる$2$点で交わるとき，定数$m$の値の範囲を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　$a\text{，}$$b$を整数とする．$a$を$14$で割ると余りが$9\text{，}$$b$を$7$で割ると余りが$5$である．このとき．次の(ⅰ)と(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$a$を$7$で割ったときの余りを求めよ．

(ⅱ)　$a-2b$を$7$で割ったときの余りを求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(3)　赤球$4$個と白球$5$個が入っている袋から，$1$個ずつ順に$3$個の球を取り出すとき，$3$回目に白球が取り出される確率を求めよ．ただし，取り出した球はもとには戻さないものとする．

【３】　以下の各問に答えよ．

(1)　不等式$(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-9)<0$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(2)　方程式${\log }_{\frac{1}{2}}x+{\log }_{\frac{1}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})=1$を解け．

【３】　以下の各問に答えよ．

(3)　$t$を実数とする．座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(2,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,4,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,-1,0)$によって定められる平面上に点$\mathrm{P}$$(1,1,t)$があるとき，$t$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$のグラフが，$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で，$x$軸と交わる点の$x$座標を$p$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$p$の値を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq p$の範囲で，曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積$S$を求めよ．

(3)　前問(2)で定めた図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　${125}^{{\log }_{5}8}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　次の$2$つの等式を満たす関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を求めよ．

$f(x)=-3x+{\displaystyle {\int }_0^1}g(x)\mathit{dx}\text{，}$$g(x)={(x-1)}^2-{\displaystyle {\int }_0^2}f(x)\mathit{dx}$

【２】　$m\text{，}$$n$を整数とする．曲線$y=m{x}^3-2(m+n)x^2$$+(m+7n)x+m+1$上の$x$座標が$2$である点における接線が点$(3,2)$を通る．次の各問に答えよ．

(1)　$m\text{，}$$n$が満たす条件を求めよ．

(2)　$m\text{，}$$n$をすべて求めよ．

【３】　方程式

$2\cos 2x+a\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=0$$\cdots \text{(＊)}$

について，次の各問に答えよ．ただし，$a$を実数とし，$0\leqq x\leqq \pi$とする．

(1)　$a=2$のとき，(＊)を満たす$x$の値を求めよ．

(2)　$t=\sin x$とおいて，$t$のとり得る値の範囲を求め，(＊)を$t$の方程式で表せ．

(3)　(＊)を満たす$x$はいくつあるか．$a$の値によって分類せよ．

【４】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．等式

$3a_n=S_n+n^2-2n+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$と$n$の式で表せ．

(3)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．