2023　茨城大学　後期MathJax

【１】　$i$を虚数単位とし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．$z=\cos \theta +i\sin \theta$とし，$z\text{，}$$z^2\text{，}$$z^3$の虚部はすべて正であるとする．複素数平面において，$7$点$\mathrm{A}(1)\text{，}$$\mathrm{B}(z)\text{，}$$\mathrm{C}(z^2)\text{，}$$\mathrm{D}(z^3)\text{，}$$\mathrm{E}\left({\displaystyle \frac{1}{z^3}}\right)\text{，}$$\mathrm{F}\left({\displaystyle \frac{1}{z^2}}\right)\text{，}$$\mathrm{G}\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)$を頂点とする七角形$\mathrm{ABCDEFG}$の面積を$S(\theta )$とする．以下の各問に答えよ．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$は次の式で表されるとする．

【３】　$a\text{，}$$b$を実数の定数とする．座標平面において，曲線$y=-x^2$を，$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる曲線を$C$とし，直線$y=x$を$l$とする．以下の各問に答えよ．

【１】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$i$は虚数単位とする．$3$つの複素数の積

$(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{9}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{9}})(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{9}})(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

を計算すると$\text{(あ)}$である．ただし，$\sin \text{，}$$\cos$を用いずに答えること．

【１】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　次の極限を求めよ．

(ⅰ)　$\underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{6-x}}{x^2-4}}=\text{(い)}$

【１】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　次の極限を求めよ．

(ⅱ)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}\log \left({\displaystyle \frac{e^x+1}{2}}\right)=\text{(う)}$

【１】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(3)　関数$f(x)=e^{x^2}$の$x=1$における微分係数は$f^{\prime }(1)=\text{(え)}$であり，関数$g(x)=\sqrt{ex}-ex$$\text{（}x>0\text{）}$の$x=e$における微分係数は$g^{\prime }(e)=\text{(お)}$である．

　また，関数$h(x)$を合成関数$h(x)=(g\circ f)(x)$で定めると，曲線$y=h(x)$上の点$(1,h(1))$における法線の傾きは$\text{(か)}$である．

【１】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(4)　閉区間${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 3$を定義域とする関数$y=\log \left({\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}\right)$の値域は

$\text{(き)}\leqq y\leqq \text{(く)}$

である．

【１】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(5)　次の定積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\cos x}{2+\sin x}}\mathit{dx}=\text{(け)}$

【１】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(5)　次の定積分を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^3}{\displaystyle \frac{x+2}{\sqrt{x+1}}}\mathit{dx}=\text{(こ)}$

【１】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(5)　次の定積分を求めよ．

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_e^{e^2}}\log \sqrt{x}\mathit{dx}=\text{(さ)}$

【２】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(1)　$2$進法で表された数の次の計算をせよ．ただし，答えは$2$進法で表すこと．

${110101}_{(2)}-{1111}_{(2)}=\text{(し)}$

【２】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(2)　$5$人でグー，チョキ，パーのじゃんけんを$1$回行うとき，$1$人だけが勝つ確率は$\text{(す)}$である．ただし，どの人もグー，チョキ，パーを出す確率は等しくそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．

【２】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(3)　$a$を実数の定数とする．連続関数$f(x)$が等式

${\displaystyle {\int }_a^x}f(t)\mathit{dt}=x^3-x^2-x-2$

を満たすとする．このとき，$f(x)=\text{(せ)}$であり，$a=\text{(そ)}$である．

【２】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(4)　初項$3$の等差数列がある．初項から第$30$項までの和が$264$であるとき，第$6$項は$\text{(た)}$である．

【２】　以下の各問の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．

(5)　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が次の条件

$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$かつ$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{5}{49}}$

を満たすとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\text{(ち)}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\text{(つ)}$である．

【３】　以下の$$にあてはまる答えを，解答用紙の指定の欄に記入しなさい．